Vektorfeld, Integrabilitätsbedingungen, Potential

Question

Hallo allerseits. Ich bin gerade am Altklausuren-Rechnen und stoße bei dieser Frage auf Granit.
Ich muss zeigen, dass ein Vektorfeld den Integrabilitätsbedingungen genügt und ein mögliches Potential bestimmen. Die Aufgabe füge ich auch nochmal als Screenshot bei. Danke im Voraus.

Text erkannt:

Aufgabe 8 (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass das Vektorfeld \( \mathbf{g}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit \( \mathbf{g}(x, v)=(k x, m v)^{\mathbf{T}} \) den Integrabilitätsbedingungen genügt. Bestimmen Sie ein mögliches Potential \( \Phi=\Phi(x, v) \), und skizzieren Sie seine Höhenlinien.

Answer 1

Aloha :)

Das Potential sieht man doch sofort:$$\phi(x;v)=\frac12kx^2+\frac12mv^2$$denn es gilt:$$\vec g(x;v)=\operatorname{grad}\phi(x;v)=\binom{\partial_x\phi}{\partial_v\phi}=\binom{kx}{mv}$$