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Aufgabe:

Gegeben sind die Untervektorräume U = {(x1,x2,x3,x4)t ∈ R4 | x1 +2x2 = x3 + 2x4} und
V =
{(x1,x2,x3,x4)t ∈ R4 | x1 =  x2 + x3 + x4} des Vektorraums R4

1. Geben Sie jeweils eine Basis U und V an.

Ich habe die folgenden Basen berechnet:
U = (2001) \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}  
(1010) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}   (2100) \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

V = (1001) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} (1010) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} (1100) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

U
∩ V = (1010) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} (4103) \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}


Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme, U + V zu berechnen. und bei U ∩ V bin ich mir auch unsicher.

dim(U+V) = dim(v) + dim(u) - dim(
U ∩ V)
dim(U+V) = 3 + 3 - 2 = 4. Ich weiß also, dass es 4 Vektoren sein müssen.

(1100) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} (0110) \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} (0010) \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} (0001) \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Diese Vektoren habe ich raus, wenn ich alle 6 Vektoren (bzw. 5, da 2 identisch sind) mit dem Gauß-Algorithmus in Stufenform berechne.





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dim(U+V) = 3 + 3 - 2 = 4.

Wegen U+VR4U+V\subseteq \mathbb{R}^4 und dimR4=4\dim\mathbb{R}^4=4 ist U+V=R4U+V = \mathbb{R}^4.

und bei U ∩ V bin ich mir auch unsicher.

Es ist UVU\neq V wegen

        (2001)UV\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\in U\setminus V

Also ist dimUV<3\dim U\cap V < 3.

Die Menge

        B{(1010),(4103)}B\coloneqq \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\right\}

ist eine linear unabhängige Teilmenge von UVU \cap V. Weil jede echte Obermenge von BB, die Teilmenge von UVU\cap V ist, linear abhängig ist (zur Erinnerung dimUV<3\dim U\cap V < 3), ist BB eine Basis von UVU\cap V.

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