Basis und Koodinatendarstellung

Question

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es sei \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) die Menge aller \( (2 \times 2) \) -Matrizen mit reellen Einträgen. Man kann zeigen, dass diese Menge einen \( \mathbb{R} \) -Vektorraum darstellt.

(a) Zeigen Sie, dass die Liste
\( \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \)
eine Basis von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) ist.

(b) Ermitteln Sie die Koordinatendarstellung des Vektors
\( \left(\begin{array}{ll} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \)
bezüglich der Basis aus (a).

(c) Geben Sie einen Untervektorraum \( U \) von \( \mathbb{R}^{2 \times 2} \) an, der eine Basis der Länge 2 besitzt. Verifizieren Sie Ihr Beispiel. (Hinweis: Sie müssen einerseits die Unterraumeigenschaften von \( U \) nachweisen und andererseits eine Basis der Länge 2 konstruieren.)

Answer 1

Hallo

du musst nur zeigen dass es keine Linearkombination der 4 matrices gibt  die 0ergibt , wo die Koeffizienten nicht 0 sind, oder dass man jede Matrix mit abcd daraus kombinieren kann,

b) einfach das GS mit den Linearkombinationen lösen. man kann auch geschickt raten!

Gruß lul

Comments

Hallo,

danke für die Antwort!

Aufgabe a) konnte ich lösen :-)

Zu Aufgabe b) habe ich noch eine Frage:

was genau ist mit "Linearkombinationen" gemeint? Heißt das ich muss zeigen, dass der Vektor aus b) als Linearkombination der vier Vektoren aus a) darstellbar ist?

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Hallo

Linearkombination : a*v1+b*v2+c*v3+d*v4, a,b,c,d aus R

lul

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okay, aber es kann doch nicht so einfach sein? und wie schreibe ich dann das Ergebnis Form richtig auf?

Answer 2

Und für c) betrachte z.B. die Matrizen

$$  \begin{array}{ll}0 & a \\b & 0\end{array}$$

mit a,b ∈ℝ.

Comments

danke für die Antwort, ich verstehe noch nicht ganz wie die Matrix die Axiome eines Untervektorraumes erfüllt.

Könnten Sie etwas ausführlicher beschreiben, dass die drei Axiome erfüllt sind?

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Also erst ∈mal nen Namen geben. Sei

\( U := \left\{\left(\begin{array}{ll} 0 & a\\b & 0\end{array}\right) | a,b \in \mathbb{R}  \right\}   \)

U ist nicht leer den für a=b=0 ist \(\left(\begin{array}{ll} 0 & 0\\0 & 0\end{array}\right) |\) ein Element von U.

Abgeschlossen bzgl +:

Sind \(\left(\begin{array}{ll} 0 & x\\y & 0\end{array}\right) \) und \(\left(\begin{array}{ll} 0 & u\\v & 0\end{array}\right) \) zwei Elemente von U, dann ist deren Summe \(\left(\begin{array}{ll} 0 & x+u\\y+v & 0\end{array}\right) \) auch in U. Das erkennt man daran, dass man in der Def. von U einsetzt a=x+u und b=y+v.

Abgeschlossen bzgl. S-Multiplikation. Ist  A= \(\left(\begin{array}{ll} 0 & x\\y & 0\end{array}\right) \) ein Elemente von U und z∈ℝ dann ist z*A = \(\left(\begin{array}{ll} 0 & zx\\zy & 0\end{array}\right) \) auch ein Element von U.

Also ist das Unterraumkriterium erfüllt und somit U ein Unterraum von ℝ2x2 .