Wie viele Stellen hat eine Zahl mindestens, wenn die Quersummen der Zahl und des Nachfolgers durch 7 teilbar sind?

Question

Aufgabe:

Dies ist eine Aufgabe aus dem Känguru-Wettbewerb für die Oberstufe:

Wenn sowohl die Quersumme der natürlichen Zahl M als auch die Quersumme von M+1 ein Vielfaches
von 7 ist, wie viele Stellen hat M dann mindestens?

(A) 3   (B) 4   (C) 5   (D) 6   (E) 7

Problem/Ansatz:

Ich habe mit Excel eine Lösung gefunden, doch wie kommt man auf die Lösung analytisch?

Comments

Siehe Antwort

Answer 1

Jede natürliche Zahl M hat irgendeine Quersumme. Wenn die Endziffer der Zahl M nicht 9 ist, dann hat M+1 einfach eine um 1 größere Endziffer und auch eine um 1 größere Quersumme.

Zwei benachbarte Zahlen können nicht beide durch 7 teilbar sein.

Die Endziffer von M muss also 9 sein.

M+1 hat dann die Endziffer 0 und (eventuell) eine um 1 größere Zehnerziffer. Eine Ziffer sinkt also um 9, die vorletzte steigt um 1.

Bilanz: QS(M+1)=QS(M)-8. Damit können : QS(M+1) und QS(M) nicht beide durch 7 teilbar sein.

Vielleicht endet M ja auf 99?
M+1 hat dann die Endziffern 00 und (eventuell) eine um 1 größere Hunderterziffer. Zwei Ziffern sinken also um 9, die Hunderterziffer steigt um 1.
Bilanz: QS(M+1)=QS(M)-17. Damit können : QS(M+1) und QS(M) nicht beide durch 7 teilbar sein.

Vielleicht endet M ja auf 999?
M+1 hat dann die Endziffern 000 und (eventuell) eine um 1 größere Tausenderziffer. Drei Ziffern sinken also um 9, die Tausenderziffer steigt um 1.
Bilanz: QS(M+1)=QS(M)-26. Damit können : QS(M+1) und QS(M) nicht beide durch 7 teilbar sein.

Wenn M am Ende genau n mal die 9 hat, muss -9n+1 (oder 9n-1) durch 7 teilbar sein.

Das ist bei n=4 der Fall. Die Zahl M muss auf ...9999 enden. Diese Ziffern bringen schon mal die Quersumme 36 mit. Die nächste durch 7 teilbare Zahl ist 42. Das wird mit 69999 erreicht. Wir brauchen mindesten 5 Stellen.

Answer 2

Die durch 7 teilbare Zahl muss eine 6 mit n angehängten Neunen sei, sodass 6+9n = 7k (k∈ℕ) sein, damit ihr Nachfolger ebenfalls durch 7 teilbar ist.