Bestimmen Sie die LR-Zerlegung von A mit Hilfe der partielle pivotisierung une geben Sie L, R und P an.

Question

Gegeben sei die Matrix

     (4  -2  0)

A= (-2  2  -1)

     (0  -1  5)

a) Bestimmen Sie die LR-Zerlegung von A mit Hilfe der partielle pivotisierung une geben Sie L, R und P an.

b) Zeigen Sie, dass R = DL^T gilt, wobei D die Diagonalmatrix ist, bei der auf der Diagonalen die Einträge von R stehen. Welches vorzeichen haben die Diagonaleinträge von D und was bedeutet das damit für A = LDL^T ?

Ich habe Teil a) gemacht

       (4   -2   0)            (1   0   0)

R =  (0   -1   5)      L = (0   1   0)

       (0   0   5)             (1/2  1  1)

     (1   0   0)

P = (0   0   1)

     (0   1   0).

Teil b) verstehe ich nicht wirklich, was ich machen soll und wie ich genau vorgehen kann! Also weiß nur, dass mein D so lautet:

     (4   0   0)

D = (0   -1   0)

     (0   0   5)

Kann mir jemand bitte helfen oder diesen Teil für mich vorrechnen, damit ich es verstehe?

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Kann mir jemand bitte weiter helfen? Ich brauche unbedingt Hilfe!!

Answer 1

Die richtige LR-Zerlegung hat wächter schon genannt und es ist keine Spaltenpivotisierung nötig (P=I).

Zu b): Damit gilt dann auch $R=DL^T$. Die Diagonalelemente von $D$ sind positiv, man kann also die "Wurzel" aus $D$ ziehen, mit $D_1:=diag(2,1,2)$ gilt dann $D=D_1D_1$.

Mit $C:=D_1L^T$ folgt dann aus $A=LDL^T$, dass $A=C^TC$ mit der rechts-oberen Dreiecksmatrix $C$. Dies stellt also eine Cholesky-Zerlegung von $A$ dar, insb. ist $A$ positiv definit.

Ob das die gewünschte und ausreichende Antwort auf b) ist, hängt davon ab, was in der Vorlesung zu diesen Zerlegungen gesagt worden ist.

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Vielen Dank für deine Hilfe

Answer 2

Hm, ich komme auf

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/grq4nhdd

LR Zerlegung R³ - LU decomposition linear equations

partielle pivotisierung= Spaltenpivot suche?

(11) Pivot:=1;

$\small L\, R = P A \to \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{-1}{2}&1&0\\0&-1&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}4&-2&0\\0&1&-1\\0&0&4\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) A$

Pivotsuche erübrigt sich....

Damit ergeben sich die Aussagen von b)!

___

Deine L,R zerlegen A nicht!

{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {1/2, 1, 1}} {{4, -2, 0}, {0, -1, 5}, {0, 0, 5}} = {{4, -2, 0}, {0, -1, 5}, {2, -2, 10}}

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Vielen Dank für deine Hilfe