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Aufgabe:

Bestimme nährungsweise die Nullstelle der Funktion f mit f(x) = x-2 + e^x auf vier Dezimalen genau.
Gefragt von
Soll das hier eine andere Funktion sein als  f(x) = e^x-x-2     ?

1 Antwort

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Das funktioniert z.B mit dem Newton-Verfahren zum Finden einer Nullstelle:

Sei xn eine Zahl in der Nähe der Nullstelle, dann ist xn+1, das definiert ist durch

xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)

eine bessere Näherung der Nullstelle.
Man beginnt nun also mit einem geratenen Wert x0 und führt dann sooft die Näherungsformel aus, bis sich die Zahl in den ersten vier Stellen nicht mehr unterscheidet. (Das geht bei diesem Verfahren recht schnell.)

Da f(0) = -1 und f(1)=e-1 ≈1.7 gilt, liegt die Nullstelle zwischen 0 und 1, wählen wir einfach mal x0=0 als Startwert.

Dann brauchen wir außerdem noch die erste Ableitung, die ist

f'(x) = 1+ex

Dann erhalten wir für den ersten Näherungswert:

x1 = 0 - f(0)/f'(0) = -(-1)/2 = 0.5

x2 = 0.44385...
x3 = 0.44285...
x4 = 0.44285...

(Tatsächlich stimmen x3 und x4 bereits bis zur 7. Stelle hinter dem Komma überein.)

Die Nullstelle ist also ungefähr

x = 0.4429

 

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