Bestimmung der allgemeinen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen

Question

Aufgabe:

Gesucht: Allgemeine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

A. yy' = x

y(x) = ?

B. y' + x²y = 5x²

y(x) = ?

C. y' = -2xy + 2xy² 

y(x) = ?

D. y'' - 6y' + 9y = e^x

y(x) = ?

Problem:

Könnte jemand mir bitte anhand eines Schemata erklären, wie ich bei derartigen Aufgabentyp vorgehen kann?

Ich danke jeden für jegliche Hilfe.

Answer 1

Hallo,

A) Trennung der Variablen:

yy'=x ; y'=dy/dx

y *dy/dx =x       → alles mit y auf eine Seite bringen, alles mit x auf die andere Seite bringen.

y dy= x dx ->beide Seiten integrieren

y^2/2 = x^2/2 +C | *2

y^2 =x^2 +2C

y= ±  √(x^2 +2C)

B) Trennung der Variablen:

y' + x^2 y = 5x^2

y'= 5x^2 -x^2 y

y'=x^2 (5-y)

C) Trennung der Variablen:

y' = -2xy + 2xy^2

y'= -2x(y-y^2)

D) Ansatz y=e^kx

2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen

y'' - 6y' + 9y = e^x

->Charakt. Gleichung:

k^2 -6k +9=0

k_1,2= 3

yh=(C₁ x+C₂) e^(3x)

yp=A e^x ->2 Mal ableiten

yp'= A e^x

yp''=A e^x

y, yp'. yp'' in die DGL einsetzen:

A e^x- 6 A e^x + 9A e^x = e^x

4 A e^x= e^x | e^x≠ 0

4 A = 1

A=1/4

yp= A e^x

yp=e^x/4

y=yh +yp

Comments

Für b) habe ich y(x) = 5 - e^{1/3 * x^3 +C}

Aber bei c) habe ich Probleme, komme ich nach dem Integrieren nur bis

ln |y² - y| = x² + C

y2 - y = e^{x^2 + C}

Wie geht man hier weiter vor, damit ich nur auf y komme?

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habe b und c ergänzt, siehe oben.

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Ich danke sehr für die Zeit und Hilfe von dir!