Welche der folgenden Matrizen beschreibt die gleiche Abbildung bezüglich der neuen Koordinaten?

Question

Es sei A die Matrix einer linearen Abbildung F:ℝⁿ→ℝⁿ bezüglich der Standardbasis des ℝⁿ und M
die Matrix einer Koordinatentransformation von einer beliebigen Basis in die Standardbasis.

Welche der folgenden Matrizen beschreibt die gleiche Abbildung bezüglich der neuen Koordinaten?

Antwort :

a) B=A+M

b) B=M⁻¹⋅A⋅M

c) B=A/M

d) B=M^−T⋅A⋅M

e) B=M⋅A

Vielen Dank für die Antwort

Answer 1

Aloha :)

Du musst die Komponenten der Vektoren zunächst von der beliebigen Basis in die Standardbasis transformieren. Das machst du durch Multiplikation mit der Transformationsmatrix \(M\). Anschließend lässt du die Abbildungsmatrix \(A\) auf die transformierten Vektoren wirken. Da die Abbildunsmatrix \(A\) das Ergebnis bezüglich der Standardbasis liefert, muss es schleißlich noch in die beliebige Basis zurück transformiert werden. Das geschieht durch Multiplikation mit der inversen Transformationsmatrix \(M^{-1}\). Richtig ist also:$$B=M^{-1}\cdot A\cdot M$$