4 Reihen auf absolute Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe

Die Aufgabe ist es, diese vier Reihen auf absolute Konvergenz zu untersuchen.

Reihe 1 divergiert und Reihe 3 konvergiert absolut nach dem Quotientenkriterium.

Bei Reihe 2 bin ich mir nicht sicher, ob sie konvergiert oder absolut konvergiert (oder divergiert?).

Bei Reihe 4 sagen die Lösungen, die ich bis jetzt gefunden hab, dass sie absolut konvergiert. Ich komme aber durch das Quotientenkriterium nachdem ich mit k² gekürzt habe auf

(2+3/k+1/k²)/(2/k+3/k²)

Da alles geteilt durch k->unendlich zur 0 wird komme ich auf 2/0, allerdings kann man nicht durch 0 teilen. Wenn ich nicht von 0 ausgehen würde sondern von einer immer kleiner werdenden Zahl würde das Ergebnis doch immer größer werden, da der Zähler ja immer größer sein wird. Oder hab ich da einen Denkfehler?

Würde mich sehr über Hilfe freuen.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu 1) Die Summanden $a_k=\left(\frac87\right)^k$ bilden keine Nullfolge:$$S_1=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac87\right)^k>\sum\limits_{k=0}^\infty1\to\infty$$

zu 2) Nach dem Leibniz-Kriterium ist es hinreichend für die Kovergenz von alternierenden Reihen (Summanden mit wechselnden Vorzeichen) $\sum\limits_{k}(-1)^ka_k$, wenn die $a_k$ eine monotone Nullfolge bilden:$$a_k=\frac{3}{\sqrt k}\stackrel{(k\to\infty)}{\to}0\quad\checkmark$$$$a_{k+1}-a_k=\frac{3}{\sqrt{k+1}}-\frac{3}{\sqrt k}=\frac{3\sqrt k-3\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}\cdot\sqrt{k+1}}<0\implies a_{k+1}<a_k\quad\checkmark$$Die Reihe konvergiert aber nicht absolut. Stell dir vor, du würdest die Summations-Reihenfolge ändern, dass zuerst alle positiven Summanden addiert werden, dann wächst die Summe ins Unendliche und du kommst nie bis zu den negativen Summanden.

zu 3) Hier würde ich das Quotientenkriterium bemühen:$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{(k+1)^2\left(\frac45\right)^{k+1}}{k^2\left(\frac45\right)^k}\right|=\frac45\frac{(k+1)^2}{k^2}=\frac45\left(1+\frac1k\right)^2\stackrel{(k\to\infty)}{\to}\frac45<1\quad\checkmark$$Die Reihe konvergiert absolut.

zu 4) Hier würde ich die Summe abschätzen. Dazu verkleinern wir im Nenner jeden Faktor um $1$, woduch sich natürlich der gesamte Nenner verkleinert und der Bruch größer wird:$$\phantom=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k!}{3\cdot5\cdot7\cdots(2k+1)}<\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k!}{2\cdot4\cdot6\cdots(2k)}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}\cdot\frac{k!}{1\cdot2\cdot3\cdots k}$$$$=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac12\right)^k\stackrel{(\text{geom. Reihe})}{=}\frac{1}{1-\frac12}=2$$Die Reihe konvergiert absolut.

Comments

Stell dir vor, du würdest die Summations-Reihenfolge ändern, dass zuerst alle positiven Summanden addiert werden, dann wächst die Summe ins Unendliche und du kommst nie bis zu den negativen Summanden.

Das ist aber ein schwaches Argument. Bist du nicht auf die Idee gekommen, die harmonische Reihe als divergente Minorante ins Spiel zu bringen?

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Nein, auf die Idee bin ich nicht gekommen. Die harmonische Reihe alterniert nicht, daher kann man an ihr die absolute Konvergenz nicht gut erklären.

Answer 2

$R_4:\; \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{k+1}{2k+3}\to 1/2 < 1$, also

absolute Konvergenz.

Comments

Wenn ich das Quotientenkriterium anwende komme ich auf

k+1*(2*k+1)/2*k+3

Wo geht die der Ausdruck 2*k+1 verloren?

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Der Quotient ist

$\frac{(k+1)!}{3\cdot 5\cdot 7 \cdots \cdot (2k+1)(2k+3)}\cdot \frac{3\cdot 5\cdot 7 \cdots (2k+1)}{k!}$

Answer 3

a)  geometrische Summe mit q> 1 -> keine Konvergenz, Summe geht gegen oo.