Mengen, Abbildungen und Urbilder

Question

Aufgabe:

Seien M , T Mengen, f : M → T eine Abbildung und N1, N2 ⊂ M sowie S1, S2 ⊂ T Teilmengen.
(a) Zeigen Sie
f (N1 ∪ N2) = f (N1) ∪ f (N2),
f (N1 ∩ N2) ⊂ f (N1) ∩ f (N2).
Geben Sie ein Beispiel an, das zeigt, dass die Gleichheit in der zweiten Aussage im Allgemeinen
nicht gilt.
(b) Zeigen Sie weiters, dass für die Urbilder gilt
f^−1(S1 ∪ S2) = f^−1(S1) ∪ f^−1(S2)

Problem/Ansatz:

ich bräuchte ganz dringend Hilfe. Ich verstehe nicht ganz wie ich so etwas zeigen kann. Und auch nicht ganz wie das mit den Urbildern geht. Wenn mir das jemand erklären könnte wäre das supi.

Danke im Voraus.

Answer 1

(a) Zu \(f(N_1\cup N_2) = f(N_1)\cup f(N_2)\): Mengengleichheit \(A = B\) zeigt man indem man \(A\subseteq B\) und \(B\subseteq A\) zeigt.

Sei \(y\in f(N_1\cup N_2)\). Begründe mit Hilfe der Definitionen von Vereinigung, und Bild einer Menge warum \(y\in f(N_1)\cup f(N_2)\) ist.

Sei \(y\in f(N_1) \cup f(N_2)\). Begründe mit Hilfe der Definitionen von Vereinigung, und Bild einer Menge warum \(y\in f(N_1\cup N_2)\) ist.

Zu \(f(N_1\cap N_2) \subseteq f(N_1)\cap f(N_2)\): Sei \(y\in f(N_1\cap N_2)\). Begründe mit Hilfe der Definitionen von Durchschnitt, und Bild einer Menge warum \(y\in f(N_1)\cap f(N_2)\) ist.