Kettenline / Seilkurve / Durchhang von Seilen unterschiedlicher Machart - knifflig!

Question

Aufgabe:

Im Schleppgeschäft werden zunehmend unterschiedliche Materialien für die Schleppverbindung verwendet. Früher konnte der Durchhang relaiv einfach berechnet werden, weil das Geschirr homogen war (alles Stahldraht).

Gegeben ist eine Schleppverbindung aus einem Dyneema-Vorlauf (+ Recker) + einem Schleppdraht. Durch die unterschiedlichen Gewichte der verwendeten Materialien kann es zu einem deutlich anderen Durchhang kommen. Vor allem beim Navigieren in flachen Gewässern ist es besonders wichtig, diesen Wert zu kennen.

Problem/Ansatz:

Die angehängte Zeichnung verdeutlicht die gegebenen und gesuchten Werte.

Ein Beispiel wäre:
h1 = 20m Höhe Bug des Havaristen
h2 = 5m Höhe Heck des Schleppers
l1 = 80m Länge Dyneemavorlauf (außerhalb der Klüse)
(l3 = 20m) Länge des Reckers
l2 = 150m Länge des Schleppdrahts
Dyneema = 2kg/m
Draht = 13,4kg/m
Recker = 7kg/m
Schäkel = 110kg (2x vorhanden)
Schleppkraft = 80t

gesucht wird der Durchhang unter der Wasserlinie h3. Eine Formel mit allen Werten wäre hilfreich, da prinzipiell alles verändert werden kann. Unter Umständen muss das Geschirr anders konzipiert werden, wenn eine bestimmte Wassertiefe gegeben ist, und nur eine sehr geringe Zugkraft/Schleppkraft realisiert werden kann.

Über die Lösung dieses, für mich sehr kniffligen Problems würde ich mich sehr freuen. Mit vielen Grüßen, Albert

PS: sollte der Recker mit den Schäkeln die Aufstellung der Gleichung erheblich erschweren oder gar unmöglich machen, kann er aus der Kalkulation auch weg bleiben.

Comments

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

das ist 'ne knifflige Aufgabe. Die Lösung hängt davon ab, welche Vereinfachungen man beim Erstellen des Modells (Seil mit mehreren Komponenten) machen kann/darf/soll.

- soll der Auftrieb des Wassers auf die unterschiedlichen Komponenten mit berücksichtigt werden (Nein - da keine spez. Dichte angegeben ist)

- soll die Kettenlinie berechnet werden - d.h. mit $\cosh$?

- oder alternativ jedes Seilgewicht als Punktlast angenommen werden

-  oder die Summe aller Gewichte als Punktlast (liefert wohl einen zu großen Wert für $h_3$)

was soll es denn werden?

Gruß Werner

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Hallo Werner.

Der Auftrieb der Komponenten kann vernachlässigt werden. Bei den Größen an Gewichten fällt das nicht ... ins.... Gewicht?

Ebenfalls könnte man über Auftrieb aus der Anströmung denken, wenn der Verband in Fahrt ist, und an den Wasserwiderstand, aber auch das kann vernachlässigt werden.

Die Genauigkeit genügt auch auf 1m genau zu sein.

Die genaue Kettenlinie ist ebenfalls nicht zwingend wichtig. Es kommt lediglich auf das Maximum und Genauigkeit des Durchhangs an.

Aktuell berechnen wie den Durchhang mittels h3 = ( (l1+l2+l3)² * (Gewicht Schlepptrosse) ) / ( 8000*F )

Die Herleitung der Formel müsste ich raus suchen.

Mich würde interessieren, ob es einen deutlichen Unterschied ergäbe, aufgrund der unterschiedlichen Materialien und der deswegen auftretenden Gewichts/Schwerpunkt-Verlagerung ...

VG, Albert

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Aktuell berechnen wie den Durchhang mittels h3 = ( (l1+l2+l3)² * (Gewicht Schlepptrosse) ) / ( 8000*F )

in der Formel kommen die beiden Höhen der Aufhängepunkte (hier 20m und 5m) nicht vor. Ich unterstelle mal, dass $F$ die Schleppkraft sein soll. Was ist dann die '8000'? und das Ergbnis rechts ist das Quadrat einer Länge (also eine Fläche) und links steht eine Länge.

Die Formel ist mir suspekt!

Mich würde interessieren, ob es einen deutlichen Unterschied ergäbe, aufgrund der unterschiedlichen Materialien und der deswegen auftretenden Gewichts/Schwerpunkt-Verlagerung .

dann müsstest Du diese Formel zwei oder dreimal anwenden. Das ist aber gar nicht möglich, da ein Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten hier gar nicht eingeht,

Könntest Du eine einfache Kettenlinie in Abhängigkeit der Seillänge, des Seilgewichts und der Schleppkraft bei unterschiedlichen Höhen der Aufhängepunkte rechnen ?

Ein Teil davon habe ich mir gerade hergeleitet, aber für eine vollständige Antwort fehlt mir aktuell die Zeit.

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Ich hab's mal überschlagen. Bei einem Gesamtgewicht von 2530kg (inkl. Schäkel) und einer Zugkraft von 8000kg (eigentlich ~80000N) sollte das Schleppseil so gespannt sein, dass es gar nicht unter die 5m des Aufhängepunktes am Schlepper abfällt. D.h. $h_3=-5\text{m}$.

Stimmt die Angabe mit 80t? Was ist, wenn der Zug nachlässt, wenn z.B. der Schlepper die Fahrt verlangsamt?

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Ein Containerschiff der Emma-Maerks-Klasse müsste eine konstanten Schub bei normaler Fahrt von 20-25kn von weniger als 6000daN (entspricht ca. kp) haben. (wenn ich mich nicht verrechnet habe)

Gehe ich von 7000daN aus, sähe eine homogenes Schleppseil von 250m und 2530kg Gewicht etwa so aus:

D.h. das Seil schwebt dann immer noch 3cm über der Wasserlinie.

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Die Grafik sieht sehr gut aus und vollkommen realistisch. Ich kann momentan nur aufgrund meiner Erfahrung beurteilen, ob die Werte der Realität entsprechen würden, oder eher nicht.

Stimmt die Angabe mit 80t? Was ist, wenn der Zug nachlässt, wenn z.B. der Schlepper die Fahrt verlangsamt?

Genau um diese Überlegungen geht es mir. Wir arbeiten im Bereich von etwa 5-130t Zugkraft. Die Geschwindigkeiten mit denen wir schleppen richten sich dann nach der Kraft mit der wir schleppen müssen um z.B. gegen Wind und Strom die Position zu halten, oder Fahrt durchs Wasser auf zu nehmen.

In flachen Gewässern müssen wir dann abhängig davon die Länge der Schleppleine einstellen, um diese nicht über den Grund zu ziehen und zu beschädigen. Die Länge l3 kann 0-900m betragen.

Kritisch wird es, wenn wir ein sehr kleines Schiff auf einer Position halten miüssen. Es ist sehr leicht, man benötigt sehr wenig Zugkraft und der Draht hängt sehr weit durch.

Die Herleitung der Formel müsste ich raus suchen

!! Mir ist ein Fehler in der Formel aufgefallen: sie lautet richtig:

Durchhang h = $\frac{(Länge der Schlepptrosse)^2 *(spezifisches Gewicht)}{8 * (Zugkraft) *1000}$
Einheitenbetrachtung wäre dann:

h = $\frac{[m^2]*[\frac{kg}{m}] }{[kg]}$ = [m]

Ich müsste dann Vereinfachen und sagen: Länge 250m, spez. Gewicht 13,4kg/m und 80t Zugkraft und käme auf 1,31m Durchhang. Vernachlässige ich den leichten Vorlauf und nehme 150m Stahltrosse, dann komme ich auf 0,47m. Oder ich müsste irgendwie die Summe der spezifischen Gewichte abschätzen...

Wenn l3 = 0m beträgt, dann kann ich nur mit dem spezifischen Gewicht der Dyneema rechnen. Erfahrungsgemäß wäre der Druchhang bei 80t Zug so ziemlich 0m.
Stecke ich bis zu 900m aus könnte ich die Dyneema und den Recker vernachlässigen. Sie wären auf einem ziemlich gerade Abschnitt des Durchhangs und ihr Gewicht mit 300kg im Vergleich zu 12t des Schleppdrahts nahezu vernachlässigbar.

Meine Überlegung ist nun, ob es durch das deutlich geringere Gewicht des Dyneema-Vorlaufs zu einer deutlich negativen Auswirkung des Durchhangs kommen würde im Vergleich zu einem Draht-Vorlauf und damit homogenen Geschirrs? Und ob sich das Berechnen lässt um das Ausmaß zu ermitteln und bewerten zu können...

Deswegen schleppen wir lieber größer und schwerer. Aber auch nicht zu groß...

Zur Emma Maersk Klasse: Angenommen wir sollten diese gegen "stürmischen Wind" (Bft 8 mit 40 m/s) halten, müssten wir etwa 56m Breite * ca. 40m Höhe gegen den Wind ziehen. Nehmen wir einen cw-Wert von 0,7 an. Der Bug ist zwar schnittig, aber die Container ... nicht :)

Wir müssten also mit 150t tauen. Wenn es richtig stürmt mit 50m/s sind es schon 240t

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Ok - den Wind hatte ich nicht berücksichtigt. Aber das ist ja auch gar nicht der Punkt. Umso höher die Kraft, desto mehr kommt das Seil nach oben. Und dann berührt das Seil auch nicht den Boden.

Die Frage ist daher viel mehr: von welcher minimalen Zugkraft kann man ausgehen?

Ich versuche das dann mal für zwei oder mehr unterschiedliche Streckengewichte im Seil zu rechnen. Kann aber ein paar Tage dauern, bis ich mich wieder melde.

Answer 1

Hallo,

Ich vereinfache das Modell zunächst so, dass es nur aus zwei Seilabschnitten besteht. Den Recker lasse ich weg, aber das Gewicht der Schäkel berücksichtige ich. Der Dyneemavorlauf besteht aus Polyethylen und das hat in etwa die Dichte von Wasser. D.h. es ist im Wasser fast schwerelos. Deshalb betrachte ich den Vorlauf als gestrecktes Seil ohne Durchhang.

Bleiben eine Gerade (der Vorlauf), das Gewicht der Schäkel und der nach Kettenlinie durchhängende Draht.

Zunächst mal die Theorie: eine Kettenlinie kann man durch die Funktion$$f\left(x\right)=a\cosh\left(\frac{x-x_{0}}{a}\right)+y_{0}$$beschreiben. $f(x)$ gibt die Höhe der Kette in Abhängigkeit der horizontalen Entfernung $x$ eines gewählten Nullpunkts. $a$, $x_0$ und $y_0$ sind Längen. $x_0$ ist die Koordinate mit dem größten Durchhang und mit $y_0$ kann man die Kette in der Höhe verschieben.

Um den Bezug zur Länge der Kette herzustellen, gilt es diese zu berechnen. Für jede (normale!) Funktion ist die Länge $L$ der Kurve zwischen zwei Koordinaten $x_1$ und $x_2$$$L=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\text{d}x$$und die Ableitung $f'$ der Kettenlinie ist$$f'\left(x\right)=\sinh\left(\frac{x-x_{0}}{a}\right)$$Daraus folgt dann$$L=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\text{d}x = \int\limits_{x_1}^{x_2}\cosh\left(\frac{x-x_{0}}{a}\right)\,\text{d}x \\ \phantom{L}= \left.a\sinh\left(\frac{x-x_{0}}{a}\right)\right|_{x_1}^{x_2}\\ \phantom{L}= a\left(\sinh\left(\frac{x_{2}-x_{0}}{a}\right)-\sinh\left(\frac{x_{1}-x_{0}}{a}\right)\right)\\ \phantom{L}= a\left(f'(x_2)-f'(x_1)\right)\\$$Und das macht die Sache relativ einfach. Einfach deshalb, weil in diesem Fall die Kräfte am Seil gegeben sind (Gewicht und Zug). Dazu sieht man sich die Kraftdreiecke an den Kettenenden an:

Die roten Pfeile $Z$ links und rechts bilden die Zugkraft und sind zwangsläufig gleich (solange man den Fahrtwiderstand im Wasser vernachlässigt). Damit das Kräftegleichgewicht in der Vertikalen passt, muss die Summe der senkrechten Komponenten (grün) gleich dem Gewicht $G$ des Seils sein.$$Y_1 + Y_2 = G$$Nun gilt aber auch noch$$f'(x_1) = -\frac{Y_1}{Z} \quad f'(x_2)=\frac{Y_2}{Z}$$Und daraus folgt:$$f'(x_2)-f'(x_1) = \frac{Y_2}{Z} + \frac{Y_1}{Z} = \frac{G}{Z} \\ \implies L = a\cdot \frac{G}{Z} \implies a = \frac{L\cdot Z}{G}$$und die drei Größen auf der rechten Seite sind alle vorgegeben. Damit ist das $a$ bekannt!

Jetzt brauchen wir noch die Betrachtung der zusätzliche Last $S$ durch die Schäkel. Ist $f_l$ die Funktion der linken Kette von $l_1$ bis $l_2$ und $f_r$ die Funktion der rechten Kette am Schäkel von $r_1$ bis $r_2$, so gibt sich am Aufhängepunkt eines Gewichts $S$ folgendes Bild.

Die blauen Kräfte bilden die Seilkräfte, die in die waagerechte Komponente $Z$ (den Zuganteilm, rot) und in die beiden senkrechten Komponenten $Y_1$ und $Y_2$ (grün) aufgeteilt sind. Auf Grund des Kräftegleichgewichts in vertikaler Richtung gilt$$S = Y_1 +Y_2$$ und genau wie oben ist$$f_l'(l_2) = -\frac{Y_1}{Z} \quad f_r'(r_1)=\frac{Y_2}{Z} \quad \text{mit} \space l_2=r_1$$ und daraus folgt$$f'_{r}(r_1) - f'_{l}(l_2) = \frac{S}{Z} \quad\implies f'_r(r_1) = f'_l(l_2)+ \frac{S}{Z}$$Jetzt wird's ein bißchen länglich - ich verzichte mal auf Details. Man startet mit einer Schätzung für die Anfangssteigung $f'_0$ des Seils beim Havaristen. Hier soll die Position $x=0$ sein. Aus der Länge des Dyneemavorlaufs kann ich daraus die Position des Schäkels berechnen$$x_S = \frac{l_{1}}{\sqrt{1+{f'_0}^2}}, \quad y_S = \frac{f'_0 l_{1}}{\sqrt{1+{f'_0}^2}} + h_1$$ Und aus der Anfangssteigung $f'_0$ und dem Verhältnis $S/Z$ die Anfangssteigung $f'_1$ des Drahtseils $$f'_1 = f'_0+\frac{S}{Z}$$ Die Konstante $a$ für die Kettenfunktion des Drahtseils habe ich oben schon erklärt$$a= \frac{l_2 \cdot Z}{G_S}$$und daraus kann man dann das $x_0$ für die Kettenfunktion des Drahtseils berechnen$$\begin{aligned} f'_1&= f'\left(x_S\right)=\sinh\left(\frac{x-x_{0}}{a}\right)\\ \implies x_0 &= x_S - a\operatorname{arcsinh}\left(f'_1\right) \\ &= \frac{l_{1}}{\sqrt{1+{f'_0}^2}} - \frac{l_2 \cdot Z}{G_S}\operatorname{arcsinh}\left(f'_0+\frac{S}{Z}\right)\\ \end{aligned}$$Und aus der Formel für die Seillänge (s.o.) folgt dann das $x_2$ - d.h. die X-Position des Drahtseilendes$$l_2= a\left(f'(x_2)-f'_1\right) \implies f'(x_2) = \frac{l_2}{a} +f'_1 = f'_1 + \frac{G_S}{Z}\\ f'(x_2)=\sinh\left(\frac{x_2-x_{0}}{a}\right) \implies x_2 = a\operatorname{arcsinh}\left(f'(x_2)\right)+x_0$$Und damit berechnet man die Höhe $h_2^*$ des Drahtseilendes$$\begin{aligned} h_2^* &= a\cosh\left(\frac{x_2-x_0}{a}\right) + y_0 \\ &= a\cosh\left(\operatorname{arcsinh}\left(f'(x_2)\right)\right) + y_0 \end{aligned}$$Das $y_0$ erhält man aus dem Drahtseilanfang bei $(x_S,\,y_S)$$$y_S = a\cosh\left(\frac{x_S-x_0}{a}\right) + y_0 \\ \implies y_0 = y_S - a\cosh\left(\frac{x_S-x_0}{a}\right)$$Was haben wir nun gewonnen? Wir haben einen Algorithmus, der aus einer Steigung $f'_0$ am Anfang die Höhe des Seils am Ende berechnet - bei vorgegebener Zugkraft $Z$. Da die Höhe $h_2$ am Ende bekannt ist (Aufhängepunkt am Schlepper), kann über Variation von $f'_0$ der Seilverlauf nummerisch berechnet werden. Der tiefste Durchhang ist an der Position $x_0$.

Bei Z=5t komme ich auf einen Durchhang von 5,7m unter der Wasserlinie. Dabei befindet sich der Dyneemavorlauf aber fast vollständig außerhalb des Wassers, d.h. die ursprüngliche Annahme der 'Schwerelosigkeit' passt nicht! Bei Z=2t berechne ich aber bereits einen Durchhang von 27,4m unter der Wasserlinie, wie man hier sieht

Wenn Du unten rechts auf das Bild klickst, öffnet sich die Desmos-Seite. Oben rechts kannst Du dann die Zugkraft einstellen und dann musst Du den Schieber bei $f_{s0}= \dots$ so einstellen, dass das Seilende rechts wieder durch den Aufhängepunkt bei $h=5\,\text{m}$ geht. Der Durchhang wird dann angezeigt.

Gruß Werner

PS.: freue mich über jedes Feedback ;-)

Comments

Werner-Salomon! Das sieht großartig aus! Vielen Dank!
Ich brauche zwar noch ein bisschen, bis ich alles vollständig nachvollziehen kann, aber der Gedanke mit dem "geraden Seil" ist klasse!

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Antwort vervollständigt (s.o.)

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Mir ist gerade aufgefallen, dass ich nur einen der zwei Schäkel im Modell berücksicht habe. Füge ich das Gesamtgewicht von S=220kg ein, so bin ich bei Z=2t bei einem Durchhang von knapp 29m.

Es wäre wichtig zu wissen, wie groß die minimal anzunehmende Zugkraft $Z$ ist!