Aufgabe:
Zeigen Sie, dass:
$$\delta(\vec{r}-\vec{r_{0)}}=-\frac{1}{4\pi}*\Delta_{\vec{r}}\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r_{0}}|}$$
Hinweis: Fassen Sie die Singularität als den Grenzwert eines Yukawa-Potentials auf, d.h
$$\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r_{0}}|}= \lim\limits_{ε\rightarrow0}\frac{e^{-ε*|\vec{r}-\vec{r_{0}}|}}{|\vec{r}-\vec{r_{0}}|}$$
und untersuchen Sie anschließend die Gleichheit im Fourierraum.
Mein Ansatz:
Vergleich der Fourier-Transformierte der beiden Seiten der Gleichung
Problem:
Für die Fourier-Transformierte der rechten Seite erhalte ich:
$$F(\delta(\vec{r}-\vec{r_{0)}})(\vec{k}) = \frac{1}{(4\pi)^{\frac{3}{2}}} * e^{-i\vec{k}\vec{r_{0}}}$$
(Ich habe immer noch Probleme damit die Fourier-Transformierte in 3D daher bin ich mir unsicher ob der Exponent von e mit den Vektoren so richtig ist)
Mein Problem:
Ich verstehe nun nicht wie man die Fourier-Transformierte von der rechten Seite bildet. Wie soll man mit dem Laplace Operator ( $$\Delta_{\vec{r}} = \partial_{x}^{2}+\partial_{y}^{2}+\partial_{z}^{2}$$) die Transformierte bilden.
Dazu kommt der Hinweis: Ich sehe nicht den Vorteil in der Bildung der Fourier-Transformierten mithilfe des Limes
Ich hoffe jemand kann mir erklären ob mein Ansatz richtig ist oder was genau falsch ist.
Mit freundlichen Grüßen
Heyjackpot
