Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion mit Linearfaktordarstellung

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f(x)=x²−2∗−8. Stellen Sie diese anschliessend in der Linearfaktordarstellung dar.

Problem/Ansatz:

Also die NS habe ich :

4

-2

Wie kann ich das nun in der Linearfaktordarstellung darstellen?

Danke

Answer 1

Zur Nullstellenberechnung bietet sich der Satz von Vieta oder die pq-Formel an

f(x) = x^2 - 2·x - 8 = 0

x1 + x2 = 2
x1 * x2 = -8

Liefert z.B. x1 = 4 und x2 = -2

Oder mittels pq-Formel

x = 1 ± √(1 + 8) = 1 ± 3 → x1 = -2 ; x2 = 4

In beiden Fällen lautet die faktorisierte Form dann

f(x) = x^2 - 2·x - 8 = (x - 4)·(x + 2)

Answer 2

Die Linearfaktoren sind immer ( x - Nullstelle). Hier also

f(x) = (x-4)(x+2)

Answer 3

\( f(x)=x^2−2 \cdot x−8\)

\(N_1(-2|0)\)  \(N_2(4|0)\)

Linearfaktordarstellung:

\( f(x)=(x\red {+}2)*(x\red {-}4)\)

Comments

Es wäre für Fragende hilfreich, die Schnittpunkte mit der x-Achse NICHT mit N zu bezeichnen. Bitte verwende \(S_{x1}\), \(S_{x2}\) usw., wenn du es nicht übers Herz bringst, die Nullstellen direkt zu benennen.

Die Schreibweise \(N_1(-2|0)\)  \(N_2(4|0)\) verstärkt den weit verbreiteten Irrglauben, dass es sich dabei um Nullstellen handelt.

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\( f(x)=x^2−2 \cdot x−8\)

Demnach ist folgende Darstellung auch nicht richtig?

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N1 und N2 sind in der Darstellung Punkte und keine Stellen.

Wenn explizit die Nullstellen zu berechnen sind, dann wird nur die x-Koordinate angegeben.

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Demnach ist folgende Darstellung auch nicht richtig?

Ja, das Bild ist aus den oben genannten Gründen irreführend.

Diese Darstellung würde das vermeiden:

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Danke! Dann werde ich mich umgewöhnen.

Answer 4

Satz von Vieta liefert schnell: 8= 1*8 v 4*2, nur 4 und 2 kommen infrage. Die Vorzeichen ergeben sich automatisch.

x^2-2x-8 = (x-4)(x+2)

oder mit pq-Formel zur Lösung der Gleichung: x^2-2x-8 = 0

x1/2 = 1+-√(1+8)

x1= 4, x2=-2

-> (x-4)(x+2)