Stimmt diese Umformung so funktioniert die skalarmultipilikation wenn der exponent k ein negatives vorzeichen hat, …

Question

Aufgabe:

Summenzeichen mit Konstante umformen

Problem/Ansatz:

(N soll über dem Summenzeichen stehen)

             n

12000 ∑_k=0   1,03^-k

^{Ansatz: Das obere umgeformt durch skalare Multiplikation}

                    _n
⁼ 12000 ∑_k=0  (1/1.03)^-k

q=1/1.03

=12000* 1/1-1,03 

=12000*-33,33

= -400000

Stimmt diese Umformung so? Funktioniert die Skalare Multipilikation wenn der exponent k ein negatives vorzeichen hat, habe ich irgendwas vergessen?

       

Answer 1

$$12000 \cdot \sum \limits_{k = 0}^{n} 1.03^{-k} \newline = 12000 \cdot \sum \limits_{k = 0}^{n} \left( \frac{1}{1.03} \right)^{k} \newline \text{Grenzwert für } n \rightarrow \infty \newline = 12000 \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{1.03}} \newline = 412000$$

Aber achtung das gilt nur für den Grenzwert wenn n gegen unendlich geht. geht n nicht gegen unendlich gibt es nur eine Partialsumme. Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Verwandte_Summenformeln