Bestimme die kritischen Punkte der Funktion f(\vec{x})=\vec{x}t A \vec{x}+\vec{b}t \vec{x}

Question

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Bestimme die kritischen Punkte der Funktion $f(\vec{x})=\vec{x}^{t} A \vec{x}+\vec{b}^{t} \vec{x}$
$\text { mit } A=-\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \vec{x}=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)$

Aufgabe:

Problem/Ansatz: kann mir jemand beim Ausrechnen diesen Aufgabe helfen? Danke!

Answer 1

Aloha :)

Da du schon mehrere Fragen gestellt hast, in denen die Funktion in Matrix- bzw. Vektorschreibweise vorlag, sollten wir uns vorab mal kurz ansehen, wie die passenden Gradienten in $n$ Dimensionen dazu allgemein aussehen.

Mit einem konstanten Vektor $\vec b$ gilt für die k-te Komponente des Gradienten:$$\operatorname{grad}_k(\vec b^t\cdot\vec x)=\frac{\partial}{\partial x_k}\sum\limits_{i=1}^nb_ix_i=\frac{\partial}{\partial x_k}\left(b_1x_1+b_2x_2+\ldots+b_nx_n\right)=\frac{\partial}{\partial x_k}(b_kx_k)=b_k$$

Mit einer konstanten quadratischen Matrix $\mathbf A$ gilt für die k-te Komponente des Gradienten:$$\operatorname{grad}_k\left(\vec x^t\cdot\mathbf A\cdot\vec x\right)=\frac{\partial}{\partial x_k}\sum\limits_{i=1}^n x_i\cdot(\mathbf A\cdot\vec x)_i=\frac{\partial}{\partial x_k}\sum\limits_{i=1}^n x_i\cdot\left(\sum\limits_{\ell=1}^na_{i\ell}x_\ell\right)$$$$\phantom{\operatorname{grad}_k\left(\vec x^T\cdot\mathbf A\cdot\vec x\right)}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{\ell=1}^na_{i\ell}\cdot \frac{\partial}{\partial x_k}\left(x_i\cdot x_\ell\right)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{\ell=1}^na_{i\ell}\left(\frac{\partial x_i}{\partial x_k}\cdot x_\ell+x_i\cdot\frac{\partial x_\ell}{\partial x_k}\right)$$$$\phantom{\operatorname{grad}_k\left(\vec x^T\cdot\mathbf A\cdot\vec x\right)}=\sum\limits_{\ell=1}^n\sum\limits_{i=1}^na_{i\ell}\cdot\frac{\partial x_i}{\partial x_k}\cdot x_\ell+\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{\ell=1}^na_{i\ell}\cdot x_i\cdot\frac{\partial x_\ell}{\partial x_k}$$

In der ersten Doppelsumme bekommen wir nur einen Beitrag, wenn $i=k$ ist, denn nur dann ist die Ableitung ungleich Null. In der zweiten Summe erhalten wir nur einen Beitrag, wenn $k=\ell$ ist, aus demselben Grund wie zuvor. Daher gilt weiter:$$\phantom{\operatorname{grad}_k\left(\vec x^T\cdot\mathbf A\cdot\vec x\right)}=\sum\limits_{\ell=1}^na_{k\ell}\cdot x_\ell+\sum\limits_{i=1}^na_{ik}\cdot x_i=(\mathbf A\cdot\vec x)_k+(\mathbf A^t\cdot\vec x)_k$$

Damit haben wir allgemein gezeigt, dass gilt:$$\pink{\operatorname{grad}\left(\vec b^t\cdot\vec x\right)=\vec b}\quad;\quad\pink{\operatorname{grad}\left(\vec x^t\cdot\mathbf A\cdot\vec x\right)=\left(\mathbf A+\mathbf A^t\right)\cdot\vec x}$$

Am besten lernst du diese beiden Regeln auswendig, denn damit findest du die kritischen Punkte von Funktionen in Matrix- oder Vektorschreibweise sehr schnell:$$\vec 0=\operatorname{grad}f(\vec x)=\operatorname{grad}\left(\vec x^t\mathbf A\vec x+\vec b^t\vec x\right)=(\mathbf A+\mathbf A^t)\vec x+\vec b$$

Da hier die Matrix $\mathbf A$ sogar symmetrisch ist $(\mathbf A=\mathbf A^t)$ suchen wir Lösungen der Gleichung:$$-2\mathbf A\,\vec x=\vec b\implies\begin{pmatrix}4 & 2 & 2\\2 & 4 & 2\\2 & 2 & 4\end{pmatrix}\cdot\vec x=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$$

Dieses kleine Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung:$$\vec x=\begin{pmatrix}-1/2\\0\\+1/2\end{pmatrix}$$Damit haben wir den einzigen kritischen Punkt gefunden.