Wir sollen die Gleichung mit vollständiger Induktion für alle n Element der natürlichen Zahlen beweisen.
Das ist meine Gleichung und dazugehörige Antwort, aber irgendwie sehe ich meinen Fehler nicht, aber irgendwas habe ich glaube ich falsch, da die linke und rechte Seite ja nicht übereinstimmen.
Text erkannt:
c) (3 P.) \( \sum \limits_{j=0}^{n} j^{2}=\frac{1}{6} \cdot n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1) \)
Induktionsanfang:
\( \begin{array}{l} n=0 \\ 0^{2}=\frac{1}{6} \cdot 0 \cdot(0+1) \cdot(2 \cdot 0+1) \\ 0=0 \end{array} \)
Ausdruck ist für \( n=0 \) wahr
Indulationsschluss: \( n+1 \)
linke Seite: \( \sum \limits_{j=0}^{n+1} j^{2} \)
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{j=0}^{n} j^{2}+(n+1)^{2} \\ =\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)+(n+1)^{2} \\ =\left(\frac{1}{6} n^{2}+\frac{1}{6} n\right)(2 n+1)+\left(n^{2}+2 n+1\right) \\ =\frac{2}{6} n^{3}+\frac{1}{6} n^{2}+\frac{2}{6} n^{2}+\frac{1}{6 n}+n^{2}+2 n+1 \\ =\frac{2}{6} n^{3}+\frac{3}{2} n^{2}+\frac{13}{6} n+1 \end{array} \)
rechte Seite:
\( \begin{array}{l} \frac{1}{6}(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1) \\ =\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2 n+3) \\ =\frac{1}{6}\left(n^{2}+2 n+n+2\right)(2 n+3) \\ =\frac{1}{6}\left(2 n^{3}+3 n^{2}+6 n^{2}+9 n+4 n+12\right) \\ =\frac{1}{6}\left(2 n^{3}+9 n^{2}+13 n+12\right) \\ =\frac{2}{6} n^{3}+\frac{3}{2} n^{2}+\frac{13}{6} n+2 \end{array} \)
Ich würde mich sehr über jegliche Hilfe freuen :]
