Berechnen Sie den Inhalt der Querschnitts-

Question

Aufgabe:Der Boden eines 2km langen Kanals
hat die Form einer Parabel mit der Gleichung
y =1/8×x hoch 2(Fig. 2). Dabei entspricht einer Län-
geneinheit 1 m in der Wirklichkeit.
a) Berechnen Sie den Inhalt der Querschnitts-
fläche des Kanals.
b) Wie viel Wasser befindet sich im Kanal.
wenn er ganz gefüllt ist?
c) Wie viel Prozent der maximalen Wasser-
menge befindet sich im Kanal, wenn er nur
bis zur halben Höhe gefüllt ist?

Answer 1

a) Berechne $\int\limits_{-4}^{4}(2- x^2/8) dx$.

Answer 2

Aloha :)

zu a) Der Querschnitt des Kanals hat die Form einer Parabel:$$y=\frac18x^2\quad;\quad x\in[-4|4]$$

Mit Hilfe der Integralrechnung können wir die grau markierte Fläche unterhalb des Graphen der Funktion bestimmen:$$F_{\text{grau}}=\int\limits_{-4}^4\frac18x^2\,dx=\left[\frac{1}{24}x^3\right]_{-4}^4=\frac{128}{24}=\frac{16}{3}$$

Die blau markierte Querschnittsfläche des Kanals erhalten wir, wenn wir von der Fläche des Rechtecks die grau markierte Fläche subtrahieren:$$F_{\text{Kanal}}=8\cdot2-F_{\text{grau}}=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$$

zu b) Wenn der $\,L=2\,\mathrm{km}\,$ lange Kanal ganz mit Wasser gefüllt ist, beträgt das Volumen:$$V=L\cdot F_{\text{Kanal}}=2000\,\mathrm m\cdot\frac{32}{3}\,\mathrm m^2=\frac{64\,000}{3}\,\mathrm m^3\approx21\,333\,\mathrm m^3$$In dem gefüllten Kanal befinden sich $21\,333$ Kubikmeter bzw. $21,333$ Mio. Liter Wasser.

zu c) Wenn der Kanal nur bis zur halben Höhe gefüllt ist, beträgt die Querschnittsfläche:$$F_{\text{halbeHöhe}}=4\cdot1-\int\limits_{-2}^2\frac18x^2\,dx=8-\left[\frac{1}{24}x^3\right]_{-2}^2=8-\frac23=\frac{22}{3}$$

Die Querschnittsfläche beträgt bei halb hoher Füllung nur noch $\frac{22}{32}=68,75\%$ der gesamten Querschnittsfläche. UIm denselben Faktor ist das Volumen des Wassers im Kanal reduziert.