Aufgabe:
Wie weist man die Stetigkeit einer Funktionenfolge nach?
Also gesucht ist eine Funktionenfolge und eine Grenzfunktion jeweils auf [0,1]→ℝ, bei der erstere stetig für alle n und punktweise konvergent ist und die Grenzfunktion nicht stetig ist.
Problem/Ansatz:
die letzten zwei Dinge sind klar, wie zeigt man aber die Stetigkeit von Funktionenfolgen
"stetige Funktionenfolge"
... ist eine unglückliche Formulierung für "Folge stetiger Funktionen".
Konkretes Beispiel: \(f_n(x) = x^n\) auf \([0,1]\).
d.h. das Vorliegen einer Folge stetiger Funktion ist die Voraussetzung für punktweise oder gleichmäßige Konvergenz
Das ist falsch.
Es gibt auch Folgen nicht stetiger Funktionen, die gleichmäßig bzw. punktweise konvergieren.
Hier geht es vor alle darum zu verstehen, dass der punktweise Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen nicht stetig sein muss.
Ok und was wäre so eine Folge nicht stetiger Funktionen?
Ich habe nun folgende Funktionenfolge fn(x)=x^n auf [0,1] gefunden, passt dieses auf die obige Beschreibung?
Diese konvergiert für [0,1) gegen 0 für x=1 gegen 1, jedoch ist diese nicht stetig und somit auch nicht gleichmäßig konvergent
Ist diese korrekt?
Ich denke da zum Beispiel an diese Funktionen fn :
Der Graph von fn sei der Streckenzug A Pn B ,
wobei A = (0 | 1) , Pn = (\( \frac{1}{n} \) | 0) , B = (1 | 0) .
Die Funktionen fn sind für alle n ∈ ℕ stetig auf [0 | 1],
die Grenzfunktion aber an der Stelle x = 0 nicht.
Ein anderes Problem?
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