Zeige, dass die Funktionenfolge punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion konvergiert

Question

Aufgabe: (Alte Klausuraufgabe)

Sei \( f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{R}, x \longmapsto 0 \) die konstante Nullfunktion.
(a) Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbf{N}_{>0}} \), definiert durch \( f_{n}:[0,1] \longrightarrow \mathbf{R} \) und
\( f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll} n^{2} x & \text { für } 0 \leq x<\frac{1}{n}, \\ -n^{2} x+2 n & \text { für } \frac{1}{n} \leq x<\frac{2}{n}, \\ 0 & \text { für } \frac{2}{n} \leq x \leq 1, \end{array}\right. \)
punktweise, aber nicht gleichmäBig gegen die Grenzfunktion \( f \) konvergiert.

Problem/Ansatz:

Ich dachte punktweise Konvergenz lässt sich grob so definieren, dass für jedes x des Definitionsbereichs eine Grenzfunktion existiert mit f(x) = lim f(x) (n -> inf) gegen welche die Funktionenfolge konvergiert. Hier ist sie bereits vorgegeben als die Nullfunktion.

Ich kann aber beispielsweise x = 1/2n wählen (0 < x < 1/n) und damit wäre lim f(x) (n -> inf) n^2*x = Unendlich, und somit ungleich der Nullfunktion. Damit kann meines Erachtens die Funktion nicht punktweise konvergent sein, ich verstehe also was falsch.

Wo liegt mein Denkfehler?

Vielen Dank für jede Hilfe!

Answer 1

Dein Denkfehler besteht darin, dass dein \(x=\frac 1{2n}\) sich verändert, wenn \(n\) gegen unendlich geht.

Bei der punktweisen Konvergenz untersucht man für jedes beliebige, aber feste \(\bm{x}\) aus dem Definitionsbereich, was mit der Folge \((f_n(\bm{x}))\) passiert.

Betrachte in deinem Fall ein festes \(x\in (0,1]\). Dann gilt

\(\frac 2n < x \Leftrightarrow n>\frac 2x\)

D.h., für alle \(n > \frac 2x\) gilt \(f_n(x) = 0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0\) für jedes \(x\in (0,1]\).

Da auch \(f_n(0) = 0\) für alle \(n\), konvergiert die Folge punktweise (also für jedes feste \(x\in [0,1]\)) gegen die Nullfunktion.

Hier sind die Graphen für \(n=2...20\):

Answer 2

Aloha :)

Die Definitionen von punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz unterscheiden sich darin, wo das "für alle \(x\) aus dem Definitionsbereich" auftaucht:$$\text{punktweise:}\quad\forall\,\varepsilon>0\,\pink{\forall x\in D}\,\exists\, n_0\in\mathbb N\,\forall n\ge n_0\colon\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon$$$$\text{glechmäßig:}\quad\forall\,\varepsilon>0\,n_0\in\mathbb N\,\pink{\forall x\in D}\,\exists\,\forall n\ge n_0\colon\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon$$

Bei punktweiser Konvergenz gibt es für jedes \(x\in D\) ein \(n_0\in\mathbb N_0\) sodass...

Daher darf dieses \(n_0\) von \(\varepsilon\) und von \(x\) abhängen, d.h: \(n_0=n_0(\varepsilon;x)\).

Bei gleichmäßiger Konvergenz gibt es ein \(n_0\in\mathbb N\), sodass für alle \(x\in D\)...

Daher darf dieses \(n_0\) nur von \(\varepsilon\) aber nicht von \(x\) abhängen, d.h. \(n_0=n_0(\varepsilon)\)

Per Definition konvergiert eine gleichmäßig konvergenze Funktion also auch punktweise.

Zeige hier, dass die Ungleichung \(\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon\) für fast alle \(n\in\mathbb N\) erfüllt ist, aber das \(n_0\in\mathbb N\), ab dem diese Ungleichung gilt, nicht unabhängig von \(x\) gewählt werden kann.