Induktionsbeweis; Fehler bei Induktionsschritt

Question

Aufgabe:

siehe Bild

Problem/Ansatz:

Findet irgendjemand den Fehler?

Text erkannt:

iii)
\( \begin{array}{l} \text { z.Z. } \prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n} \text {, falls } n \geq 2 \\ n=2: \prod \limits_{i=2}^{2}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)=\frac{2+1}{2 \cdot 2} \\ \frac{3}{4}=\frac{3}{4} \\ \left.\underline{n \Rightarrow n+1:} \prod \limits_{k=2}^{n+1}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)=\prod \limits_{k=0}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right) \cdot\left(1-\frac{1}{b+2}\right)^{2}\right) \stackrel{W}{=} \frac{n+1}{2 n} \cdot\left(1-\frac{1}{(b+1)^{2}}\right) \\ =\frac{n+1}{2 n} \cdot\left(\frac{(n+1)^{2}}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{(n+1))^{2}}\right) \\ =\frac{n+1}{2 n}\left(\frac{n^{2}+20+1}{n^{2}+2 n+1}-\frac{1}{n^{2}+2 n+1}\right) \\ =\frac{n+1}{2 n} \cdot \frac{n^{2}+2 n}{n^{2}+2 n+1} \\ =\frac{n 11}{2 a} \cdot \frac{n \cdot(n+2)}{n^{2}+2 n+1} \\ =\frac{(n+1) \cdot(n+2)}{2 \cdot\left(n^{2}+2 n+1\right)} \\ \end{array} \)

Answer 1

Wenn Du Dich jetzt an die erste binomische Formel erinnern würdest, wärst Du fertig... andererseits kennst Du sie ja, denn Du hast sie selbst ein paar Zeilen weiter oben benutzt...

Alternativ, ohne ginge es, wenn Du in der Klammer nicht ausmultipliziert hättest, sondern gleich (n+1) gekürzt hättest.