Produktfolge (1-1/k^2) Induktionsbeweis

Question

Sehr geehrte MatheLounge Community,

die Aufgabe lautet: Man zeige, dass für alle n ∈ N, n ≥ 2, gilt \( \prod \limits_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right):=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \cdot\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2 n} \)

Hier ist mein Ansatz:

Induktionsanfang: n=2,         1-1/2² = 0,75

                                              (2+1)/2*2 = 0,75

Induktionsschritt: (1 - 1/(n+1)² ) * (n+1)/2*n.

Aber jetzt weiß ich leider nicht wie ich weiter vorgehen soll.

Maxxxieking

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Produktfolge (1-1/k^2) Induktionsbeweis

Stichworte: induktion,produktionsfunktion,folge

Sehr geehrte MatheLounge Community,

die Aufgabe lautet: Man zeige, dass für alle n ∈ N, n ≥ 2, gilt 

Hier ist mein Ansatz:

Induktionsanfang: n=2,         1-1/2² = 0,75

                                              (2+1)/2*2 = 0,75

Induktionsschritt: (1 - 1/(n+1)² ) * (n+1)/2*n.

Aber jetzt weiß ich leider nicht wie ich weiter vorgehen soll.

Maxxxieking

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Entschuldigung, Ich habe die Frage zweimal gestellt, weil Ich doppelt auf den Knopf gedrückt habe nachdem mir gesagt wurde die Frage existiert bereits.

Answer 1

Hallo Maxxxieking,

A(n) :    _k=2∏ⁿ ( 1 - 1/k²)  =  (n+1) / (2n)

Induktionsschritt   A(n)  →  A(n+1)

_k=2∏ⁿ⁺¹ ( 1 - 1/k²)   =   ( _k=2∏ⁿ ( 1 - 1/k²) ) *  (1 - 1/(n+1)² ) 

                                =_IV   (n+1) / (2n)  *   (1 - 1/(n+1)² ) 

                                      ausmultiplizieren und hinteren Bruch durch n+1 kürzen:

                                =   (n+1) / (2n) -  1 / ( 2n * (n+1) ) 

                                        auf gemeinsamen Nenner bringen:

                                =   ( (n+1)² - 1 ) / ( 2n * (n+1) )  

                                      1. binomische Formel:

                                =   ( n² + 2n + 1 - 1) / ( 2n * (n+1) )  

                                         oben zusammenfassen und n ausklammern:

                                =  n * (n+2) / ( 2n * (n+1) )  

                                =  (n+2) / ( 2 * (n+1) )     [ = ( n+1 + 1) ( 2 * (n+1) )  ]

Gruß Wolfgang                           

Answer 2

Hallo Maxxxieking,

Beste Grüße