Hallo Ayleen,
Zu zeigen ist:$$\prod \limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)=2-\frac{1}{n+1} $$Der Induktionsanfang sollte kein Problem sein. Setze \(n=1\):$$n=1 \\ \prod \limits_{k=1}^{1}\left(1+\frac{1}{1+k}\right) = \frac 32 = 2 - \frac 12 \space \checkmark$$Beim Induktionsschritt von \(n\) nach \(n+1\) muss man wirklich wissen wo man hin will ... ich schreib es erstmal hin:$$\prod \limits_{k=1}^{n+1}\left(1+\frac{1}{n+k+1}\right) \\= \frac{\prod \limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)}{\left( 1+ \frac 1{n+1}\right)} \cdot \left( 1 + \frac1{2n+1}\right)\cdot \left( 1+ \frac1{2n+2}\right) \\ = \left( 2-\frac{1}{n+1}\right)\cdot \frac{(n+1)(2n+1)(2n+2) + (n+1)(2n+1)+ (n+1)(2n+2) + (n+1)}{(n+1)(2n+1)(2n+2) + (2n+1)(2n+2)} \\ = \left( \frac{2n+1}{n+1}\right)\cdot \frac{(n+1)((2n+1)(2n+2)+(2n+1)+(2n+2)+1)}{(n+2)(2n+1)(2n+2)} \\ = \frac{(2n+1)(2n+2)+(2n+1)+(2n+2)+1}{(n+2)(2n+2)} \\ = \frac{(2n+1)(2n+2)+(2n+2)+(2n+2)}{(n+2)(2n+2)} \\ = \frac{(2n+2)((2n+1)+2)}{(n+2)(2n+2)} \\ = \frac{(2n+1)+2}{n+2} \\= \frac{2(n+2)-1}{n+2} \\ = 2 - \frac 1{n+2} \\ \text{q.e.d}$$von der ersten zur zweiten Zeile zu kommen, das geht noch. Man schreibt den Term, den man ersetzen will, zunächst mal hin und überlegt welche Faktoren zu viel und welche zu wenig sind.
Der nächste Schritt ist noch 'Handarbeit'. Zähler und Nenner dieses Riesenbruchs werden mit dem Hauptnenner der 'Sub'brüche multipliziert. Was dann kommt ist schwierig, nämlich die Faktorisierung dieser Ausdrücke. Der Trick ist hier frühzeitig zusammen zu fassen und zu kürzen. Wenn man das geschafft hat, kürzt sich alles störende heraus.
Frage einfach nach, welche Stellen Du nicht nachvollziehen kannst.
Gruß Werner
