Bewegungsgleichungen und Lagrange-Funktion

Question

Aufgabe:

Lagrange-Funktion und Bewegungsgleichungen
Betrachten Sie ein System aus zwei Punktteilchen der Masse $m$, die über die konstante Kraft
$\vec{F}_{i j}=\frac{\alpha}{\sqrt{2}} \frac{\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}}{\left|\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right|}$
miteinander wechselwirken und der äußeren Kraft
$\vec{F}^{\mathrm{ext}}(\vec{r})=-k \vec{r}, \quad k \neq 0$
1
unterliegen. Nehmen Sie an, dass das Problem zweidimensional behandelt werden kann. Zeigen Sie, dass die Potentiale
$V_{i j}\left(\vec{r}_{i}, \vec{r}_{j}\right)=-\frac{\alpha}{\sqrt{2}}\left|\vec{r}_{i}-\vec{r}_{j}\right| \quad \text { und } \quad V^{\text {ext }}(\vec{r})=\frac{k}{2} \vec{r}^{2}$
den gegebenen Kraftfeldern entsprechen. Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion
$\mathcal{L}\left(\vec{r}_{1}, \dot{\vec{r}}_{1}, \vec{r}_{2}, \dot{\vec{r}}_{2}\right)=T\left(\dot{\vec{r}}_{1}, \dot{\vec{r}}_{2}\right)-V\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)$
und geben Sie die Lagrange-Bewegungsgleichungen an. Verwenden Sie dazu
a) kartesische Koordinaten für beide Teilchen $\left(x_{i}, y_{i}\right), i=1,2$,
b) ebene Polarkoordinaten für beide Teilchen $\left(r_{i}, \varphi_{i}\right), i=1,2$,
c) und ebene Polarkoordinaten $\left(r_{1}, \varphi_{1}\right)$ und $\left(r_{2}, \Delta \varphi\right)$, wobei $\Delta \varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}$.

Prüfen Sie für alle drei Fälle, ob zyklische Koordinaten auftreten und (falls ja) welche Erhaltungsgrößen daraus resultieren.

Problem/Ansatz:

Hallo,

Weißt jemand, wie man diese Aufgabe lösen kann?

Ein Lösungsweg wäre wirklich hilfreich.

Danke im Voraus

Comments

Was daran kannst du nicht? bitte frag gezielter, denn die Lagrangefunktion steht da ja?

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Ich wollte nur wissen, wie ich in diesem Fall vorgehen soll, z.B. ein Ansatz ein paar Tips wären hilfreich