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Aufgabe

Hey Leute,

Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe und die Abgabe ist morgen. Könnte mir da jemand helfen? :)


Problem/

Ana1, Blatt4.png

Text erkannt:

Aufgabe 1 Folgen
(1+1+1+1 (1+1+1+1 Punkte)
Sei (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} eine Folge in Q \mathbf{Q} und a,bQ a, b \in \mathbf{Q} .
(a) Betrachten Sie eine Folge (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} , welche sowohl gegen a a , als auch gegen b b konvergiert. Das heißt, für beliebiges ε>0 \varepsilon>0 existieren n0N n_{0} \in \mathbb{N} und n1N n_{1} \in \mathbb{N} , sodass
ana<ε fu¨r alle nn0 und anb<ε fu¨r alle nn1. \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } n \geq n_{0} \quad \text { und } \quad\left|a_{n}-b\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } n \geq n_{1} .

Zeigen Sie, dass dann a=b a=b gilt.
(b) Die Folge (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} konvergiere gegen a a . Zeigen Sie, dass jede Teilfolge von (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} gegen a a konvergiert.
(c) Zeigen Sie, dass die Folge (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} gegen a a konvergiert, genau dann wenn die Folge (ana)nN \left(a_{n}-a\right)_{n \in \mathbb{N}} eine Nullfolge ist.
(d) Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Jede Cauchy-Folge (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} mit anZ a_{n} \in \mathbb{Z} für alle nN n \in \mathbb{N} konvergiert gegen ein aZ a \in \mathbb{Z} .

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Wenn ε kleiner ist als |(a-b)/2|, überlappen sich die ε-Umgebungen von a und b nicht mehr. Ein in die ε-Umgebung von a eindringendes Folgenglied ist dann außerhalb der ε-Umgebung von b.

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