Aufgabe:
Wie bestimme ich die Umkehrabbildung von 2xx+1 \frac{2x}{x+1} x+12x ?
Also ich weiß dass durch f(f^-1) = id herauskommen muss. Bei Funktionen wie x2 ist es ja wurzel aus x. Da ist es für mich eindeutig, aber wie mach ich das bei einem Bruch?
y=2xx+1 y=\frac{2x}{x+1} y=x+12x
x,yx,y x,yTausch:
x=2yy+1 x=\frac{2y}{y+1} x=y+12y
xy+x=2y xy+x=2y xy+x=2y
xy−2y=−x xy-2y=-x xy−2y=−x
y(x−2)=−xy(x-2)=-x y(x−2)=−x
y=−xx−2y=-\frac{x}{x-2} y=−x−2x
y=x2−xy=\frac{x}{2-x} y=2−xx
Stelle die Gleichung
y=2xx+1y = \frac{2x}{x+1}y=x+12x
nach xxx um.
Vertausche xxx und yyy.
nach x auflösen:
y(x+1)= 2x
yx-2x= -y
x(y-2)= -y
x= -y/(y-2) = y/(2-y)
vertauschen.
y= f^-1= x/(2-x)
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