Gleichungen: m * q = a - b anders als (m*q)/a = a- b?

Question

Aufgabe:

1) Wenn a ≡ b (mod m) gilt, dann gilt auch a² ≡ a • b (mod m) => Lösungungsblatt zeigt richtig
2) Wenn a² ≡ a • b (mod m) gilt, dann gilt auch a ≡ b (mod m) => Lösungungsblatt zeigt falsch

Problem/Ansatz:
Warum vice versa andere Ergebnisse? Ja ich komme bei beiden auf:
a ≡ b (mod m)
=> m * q = a - b

a² ≡ a • b (mod m)
=> \( \frac{m * q}{a} \) = a- b

Linke Seite (m * ... ) ist anders, also meines Erachtens beides falsch. Bitte wie würdet ihr das am einfachsten auf Richtigkeit beweisen und warum haben die beiden laut Lösungsblatt andere Ergebnisse, ist ja gleich oder nicht?

Answer 1

Bei 1) erweiterst du nur mit a:
\(a-b = qm \Rightarrow a^2-ab = (aq)m\)

D.h., \(a^2-ab\) ist ein ganzzahliges Vielfaches von m. Damit gilt \(a^2 \equiv ab\mod m\).

Bei 2) ist es wichtig, dass nach der Division durch a immer noch ein ganzzahliges Vielfaches von m herauskommt. Das ist jedoch nicht immer möglich:

\(a^2 - ab = qm \Rightarrow a-b = \frac{qm}a \stackrel{!}{=} q'm\) mit ganzzahligem \(q'\)

Damit das funktioniert, benötigt man, dass ggT(m,a)= 1 ist. Sonst kann das schiefgehen wie im folgenden Beispiel:

\(4\equiv 10 \mod 6 \) ABER \(2 \not \equiv 5 \mod 6\)