Aufgabe:
Es sei das folgende lineare Gleichungssvstem
über dem Körper K gegeben:
x+y+z= 0
x-y-z=0
x+z=0
Bestimmen Sie die Lösungen dieses Gleichungssystems, falls
a) K= Q
b) K= F2
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13:33
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Prof. Dr. Christopher Deninger
Dr. Dennis Wulle
Wintersemester 2023/24
Universität Münster
Lineare Algebra I
Übungsblatt 03
Aufgabe 1 Es seien \( K \) ein Körper und \( V \) ein \( K \)-Vektorraum. Ferner sei \( M \subset V \) eine Teilmenge von \( V \),
a) (3 Punkte) Wie ist das Erzeugnis von \( M \) definiert und wann ist \( M \) ein Erzeugendensystem?
b) (3 Punkte) Wie ist Lineare Unabhängigkeit definiert? Was ist eine Basis von \( V \) ?
c) (2 Punkte) Ist die folgende Aussage wahr?
\( M \) ist genau dann ein \( K \)-Untervektorraum von \( V \), wenn \( \langle M\rangle=M \)
Aufgabe 2
(a) Welche der folgenden Teilmengen des \( \mathbb{R}^{3} \) sind linear abhängig über \( \mathbb{R} \) ?
\( \begin{aligned} M_{1} & =\left\{\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right\}, \quad M_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l} 3 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 3 \\ 6 \\ 2 \end{array}\right)\right\}, \\ M_{3} & =\left\{\left(\begin{array}{l} 3 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} e \\ 0 \\ \pi \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)\right\}, \end{aligned} \)
(b) Erzeugen die folgenden Vektoren den \( \mathbb{Q} \)-Vektorraum \( \mathbb{Q}^{4} \) ?
\( \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \)
Aufgabe 3 Es sei das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper \( K \) gegeben:
\( \begin{aligned} x+y+z & =0 \\ x-y-z & =0 \\ x+z & =0 \end{aligned} \)
Bestimmen Sie die Lösungen dieses Gleichungssystems, falls
a) \( K=\mathbb{Q} \)
b) \( K=\mathbb{F}_{2} \)
Prof. Dr. Christopher Deninger
Dr. Dennis Wulle
Wintersemester 2023/24
Universität Münster
Aufgabe 4 Es seien \( V \) und \( W \) zwei \( K \)-Vektorräume und \( \mathfrak{b}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \) eine Basis von \( V \). Sei \( \varphi: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
a) (3 Punkte) \( \varphi \) ist genau dann injektiv, wenn \( \varphi\left(v_{1}\right), \ldots, \varphi\left(v_{n}\right) \in W \) linear unabhängig
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