Aufgabe:
Sei φ∈End(V) \varphi \in \operatorname{End}(V) φ∈End(V). Hat φ2+φ \varphi^{2}+\varphi φ2+φ den Eigenwert -1 , so hat φ3 \varphi^{3} φ3 den Eigenwert 1 .
Problem:
Ich habe da nicht so wirklich einen Plan, wie ich dies zeigen soll?
End(V) ist ja der Endomorphismus eines Vektorraums V und die Eigenwerte erhält man normalerweise durch das charakteristische Polynom.
Danke für Hilfe im Voraus!
φ2+φ \varphi^{2}+\varphi φ2+φ hat den EW -1
==> Es gibt v∈V\{0} mit (φ2+φ)(v)=−1⋅v( \varphi^{2}+\varphi )(v) = -1 \cdot v (φ2+φ)(v)=−1⋅v
==> φ(φ2(v)+φ(v))=φ(−1⋅v) \varphi( \varphi^{2}(v) +\varphi (v)) = \varphi( -1 \cdot v) φ(φ2(v)+φ(v))=φ(−1⋅v)
Wegen Linearität von φ \varphi φ
==> φ3(v)+φ2(v)=−φ(v) \varphi^{3}(v) +\varphi^2 (v) = -\varphi( v) φ3(v)+φ2(v)=−φ(v)
==> φ3(v)+φ2(v)+φ(v)=0 \varphi^{3}(v) +\varphi^2 (v) + \varphi( v) = 0 φ3(v)+φ2(v)+φ(v)=0
Wegen φ2+φ \varphi^{2}+\varphi φ2+φ hat den EW -1
==> φ3(v)−1⋅v=0 \varphi^{3}(v) -1 \cdot v = 0 φ3(v)−1⋅v=0
==> φ3(v)=v \varphi^{3}(v) = v φ3(v)=v
Also v Eigenvektor von φ3 \varphi^{3} φ3 zum EW 1.
Nutze die in End(V) geltende Gleichung
φ3−idV=(φ−idV)(φ2+φ+idV)\varphi^3-id_V=(\varphi -id_V)(\varphi^2+\varphi+id_V)φ3−idV=(φ−idV)(φ2+φ+idV)
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