Gegeben ist die Funktionenschar.Nullstellen ermitteln,Extrempunkte,Wendetangente

Question

Aufgabe:Gegeben ist die Funktionenschar fa(x)=-1/a*(x-2)^2*(x+4)

a) Ermitteln sie die Nullstellen der Funktion f

b) Ermitteln sie die Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit vom Parameter a

c) Für welchen Wert des Parameters a hat die Wendetangente ( d.h.die Tangente am Wendepunkt)die Steigung 2? Ermitteln Sie das a

Problem/Ansatz: Ich habe mehrmals versucht die Funktion zu vereinfachen,aber es klappt nicht

Answer 1

a)

fa(x) = 0
- 1/a·(x - 2)^2·(x + 4) = 0 → x = -4 ∨ x = 2

b)

fa(x) = - 1/a·(x^3 - 12·x + 16)
fa'(x) = - 1/a·(3·x^2 - 12) = 0 → x = ±2

fa(-2) = - 32/a → EP1(- 2 | - 32/a)
fa(2) = 0 → EP2(2 | 0)

c)

fa''(x) = - 1/a·(6·x) = 0 → x = 0

fa'(0) = - 1/a·(3·0^2 - 12) = 2 → a = 6

Answer 2

Gegeben ist die Funktionenschar \(f(x)=-\frac{1}{a}*(x-2)^2*(x+4)\)

a)

Ermitteln sie die Nullstellen der Funktion f

\(-\frac{1}{a}*(x-2)^2*(x+4)=0\)

\(x_1,_2=2\) ist eine doppelte Nullstelle →Extremwert

\(x_3=-4\)  Einfachnullstelle

b)

Ermitteln sie die Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit vom Parameter a

\(f(x)=-\frac{1}{a}*[(x-2)^2*(x+4)]\)

\(f´(x)=-\frac{1}{a}*[2(x-2)*(x+4)+(x-2)^2]\)

\(2(x-2)*(x+4)+(x-2)^2=0\)

\((x-2)*[2*(x+4)+(x-2)]=(x-2)*(3x+6)=0\)

\(x_1=2\)    \(f(2)=0\) siehe auch bei den Nullstellen

\(x_2=-2\)     \(f(-2)=-\frac{1}{a}*(-2-2)^2*(-2+4)=-\frac{32}{a}\)

Art des Extremwertes:

\(f´(x)=-\frac{1}{a}*[(2x-4)*(x+4)+(x-2)^2]\)

\(f´´(x)=-\frac{1}{a}*[(2*(x+4)+(2x-4)+(2x-4)]\)

...

Comments

Ich habe mehrmals versucht die Funktion zu vereinfachen, aber es klappt nicht

\(f(x) =-\frac{1}{a}*[(x-2)^2*(x+4) ]\)

\(f(x)=-\frac{1}{a}*[(x^2-4x+4)*(x+4)]\)

\(f(x)=-\frac{1}{a}*[x^3-4x^2+4x+4x^2-16x+16]\)

\(f(x)=-\frac{1}{a}*[x^3-12x+16]\)

Für die Nullstellen ist das Ausmultiplizieren aber ungeschickt. Da ist die gegebene Funktion wesentlich besser.

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Dankeschön für die Erklärung!