Äquivalente Aussagen zum Infimum

Question

Ich muss die Aussage „Man kommt dem Infimum einer Menge beliebig nahe“ beweisen.

Dafür habe ich mir eine Menge \( \varnothing \neq A \subset \mathbb R \) genommen und folgende Aussagen dafür definiert:

(i)    \( S= \text{inf}(B) \)

(ii)    S ist eine untere Schranke von B und für jedes \( \epsilon > 0 \: \exist b \in B \) mit \( S + \epsilon > b \geq S \)

Sofern dieser Ansatz bei (ii) stimmt, ist nun die Aufgabe:

Beweise:

\( (i) \Leftrightarrow (ii) \)

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme bei der Implikation \( (ii) \Rightarrow (i) \).

S ist ja EINE untere Schranke. muss ich dann im Grunde nur zeigen, dass es kein kleineres \( b \in B \) gibt, weil dann kann ich ja \( b \geq S \) nutzen, sodass \( b=S \Rightarrow S = \text{inf}(B) \) ?

Oder habe ich einen Schritt vergessen?

Dankeschön schonmal im Voraus!

Answer 1

Ich denke, das muss man noch genauer auf die Formulierungen beziehen. Es gelte also (ii). Dann ist S eine untere Schranke, also \(\inf(B) \geq S\). Wir nehmen an: \(\inf(B) >S\).

Dann setzen wir \(\epsilon:=\inf(B)-S\) und wählen ein \(b \in B\) gemäß (ii). Für dieses b gilt

$$\inf(B)=S+\epsilon>b$$

Dann wäre aber \(\inf(B)\) keine untere Schranke von B.