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es geht um folgende Aufgabe:


https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Supremum_und_Infimum_bestimmen_und_beweisen#Menge_von_Funktionswerten

$$M:=\left\{\frac{1}{1+x^2} : x\in \mathbb{R}\right\}$$

Behauptung: $$\inf M=0$$
Mir geht es nur um den Beweis, dass 0 die kleinste untere Schranke ist, der Beweis das 0 eine untere Schranke von M ist, unterscheidet sich bei mir nicht.

Mein Beweis ist deutlich kürzer, deswegen bin ich mir nicht sicher ob er korrekt ist.

Beweis:

Angenommen es existiert ein \(y\in \mathbb{R}\) mit \(y>0\), so dass für alle \( x\in \mathbb{R} \) gilt: \( y\leq \frac{1}{1+x^2} \)

Setze nun \(x= \frac{1}{\sqrt{y}} \) , es gilt offensichtlich \( \frac{1}{\sqrt{y}} \in \mathbb{R} \), dann folgt:

\( y\leq \frac{1}{1+x^2} \leftrightarrow y\cdot(1+ x^2)\leq 1 \)

\( \leftrightarrow y+ yx^2\leq 1 \quad \vert  \)  \(x= \frac{1}{\sqrt{y}}\)

\( \rightarrow y+ 1 \leq 1 \rightarrow y \leq 0 \)


Widerspruch zur Annahme \(y>0\), somit muss 0 die kleinste obere Schranke von M sein.

von

Oh :( Ich meine immer größte untere Schranke, habe mich verschrieben....

Und einmal habe ich sogar kleinste obere Schranke, anstatt größte untere Schranke geschrieben... sry, war unkonzentriert.

Du schreibst, angenommen es existiert ein \(y>0\), sodass für alle \(x\) gilt: \(y\le\frac{1}{1+x^2}\). Das heißt, dieses \(y\) erfüllt die Bedingung:$$y\le\frac{1}{1+x^2}\quad\Leftrightarrow\quad\frac{1}{y}\ge1+x^2\quad\Leftrightarrow\quad\frac{1}{\sqrt y}\ge\sqrt{1+x^2}>x$$Du kannst also nicht \(x=\frac{1}{\sqrt y}\) setzen. Weil du es trotzdem tust, bekommst du den Widerspruch am Ende.

Verstanden, danke :)

Schöner Beweis.

1 Antwort

+3 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Die Wahl \(x=\frac{1}{\sqrt y}\) erfüllt nicht die Bedingungen: \(y\le\frac{1}{1+x^2}\) und \(y>0\), denn:$$0<y\le\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{\sqrt y}\right)^2}=\frac{1}{1+\frac{1}{y}}\;\Rightarrow\;y+1\le1\;\Rightarrow\; y\le0$$Du erhältst den Widerspruch in deinem Beweis also, weil du oben was Falsches reingesteckt hast.

von 19 k

Danke für die Antwort :)


Das war meine Idee:

Ich nehme an es gibt eine größere untere Schranke y von M, dann habe ich "gezeigt", dass ich immer ein Element aus M finden kann, so dass y>0 nicht gelten kann, wenn y eine untere Schranke ist.

Für beliebige positive reelle Zahlen y∈ℝ, kann man immer das Element m∈M finden, mit

\( m:=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{\sqrt  y }\right)^2} \)


Nach Umformungen folgt dann, dass y>0 nicht gelten kann, wenn y eine untere Schranke von M ist.


Ich verstehe meinen Fehler nicht :(

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