Wie lauten mögliche Beispiele für solche Menge in der Relativtopologie?

Question

Aufgabe:

Seit T_y die Relativtopologie oder Unterraumtopologie, (X, T_x) topologischer Raum und Y⊂X, Y=[0,1) und X=ℝ

Gesucht ist eine Menge K ⊂ Y an, die offen in Y ist, K ∈ T_y, aber nicht offen in X.

Zudem eine Menge L ⊂ Y, die abgeschlossen in Y ist, aber
nicht abgeschlossen in X

Answer 1

\([0,1/2)\) ist offen bzgl. der Relativtopologie auf \(Y\), aber nicht in \(X\).

\([0.5,1)\) ist abgeschlossen in \(Y\), aber nicht in \(X\).

Comments

Danke erstmal für die Antwort, kannst du erklären warum, um dies nachvollziehen zu können?

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Als halboffenes Intervall in \(\mathbb{R}\) ist \([0,1/2)\) weder offen noch abgeschlossen. In \([0,1)\) (selbst ein halboffenes Intervall), ist es eine offene Menge. Das kannst du mit der Definition verifizieren.

\([0.5,1)\) ist auch ein halboffenes Intervall in \(\mathbb{R}\). Es ist in \([0,1)\) aber abgeschlossen, da \(Y\) "auf der einen Seite unberandet" ist und somit nicht "detektiert" wird, dass es "halboffen" ist.