Wieso bildet jede Metrik mit der Menge X eine Topologie, wenn X selber ja nicht zwangsläufig offen sein muss?

Question

Hallo!

Ausgangspunkt:

Wir hatten in Analysis die Topologie wie folgt eingeführt

Definition 1.3.4 Eine Topologie auf einer Menge $X$ ist eine Menge $\mathcal{T}$ von Teilmengen von $X$, sodass die folgenden Eigenschaften gelten.
(i) $\emptyset, X \in \mathcal{T}$.
(ii) Jede Vereinigung $\bigcup_{i \in I} U_{i}$ von Elementen $U_{i} \in \mathcal{T}$ ist wieder ein Element von $\mathcal{T}$.
(iii) Wenn $U_{1}, U_{2} \in \mathcal{T}$, dann ist $U_{1} \cap U_{2} \in \mathcal{T}$.

Das Paar $(X, \mathcal{T})$ nennt man einen topologischen Raum. Die Elemente $U \in \mathcal{T}$ heißen offenen Teilmengen von $X$ (bezüglich der Topologie $\mathcal{T}$ ).

Nun wurde aber auch gesagt, dass jede Metrik eine Topologie induziert:

Satz 1.3.6 Jede Metrik d auf einer Menge $X$ induziert wie folgt eine Topologie $\mathcal{T}$ auf $X$. Für $U \subset X$ definieren wir

$U \in \mathcal{T} \quad: \Longleftrightarrow \forall x \in U \exists r>0: B_{r}(x) \subset U .$

Frage:

Wieso bildet jede Metrik mit der Menge X eine Topologie, wenn X selber ja nicht zwangsläufig offen sein muss, so also laut der Definition der "neuen" Topologie gar kein Element in T ist? Resultat wäre ja, dass X dann gar keine Topologe wäre, da ja (i) nicht erfüllt wäre.

Vielen Dank im Voraus!

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edit: Per Definition einer Kugel folgt ja, dass es solch eine für jeden Punkt in X gibt. In meiner Mitschrift hatte ich da nur irgendwie stehen, dass die Kugel alle Elemente aus $\mathbb{R}$ und nicht nur aus $X$ enthält.

Answer 1

Die Menge $X$ ist in der durch die Metrik induzierten Topologie sehr wohl offen. Denn für jedes $x\in X$ ist $B_\varepsilon(x)\subseteq X$ für jedes $\varepsilon > 0$. Und $\emptyset$ ebenso, da Quantifizierungen über leere Mengen immer wahr sind.

Was du mit deinem Edit meinst, verstehe ich nicht ganz. Aber die Bälle selbst "leben" natürlich in $X$.