gibt es beschränkte, offene Menge, deren Rand leer ist?

Question

Sei \(B\subset \mathbb{R}^n\) eine beschränkte, offene Menge. Gilt dann für den Rand immer \(\partial B \neq \emptyset\)? Oder gibt es beschränkte, offene Menge, deren Rand leer ist.

Bemerkungen:

Der Abschluss \(\overline B\) ist die Erweiterung von \(B\) durch alle Grenzwerte der konvergenten Folgen mit Gliedern in \(B\).

Definition Rand: \(\partial B= \overline B\setminus B^{\circ}\) , wobei \(B^{\circ}\) die Menge der Inneren Punkte von \(B\) ist.

Einschränkung: Es hängt eventuell auch von der Metrik ab

Answer 1

Wenn \(\mathbb{R}\) die übliche Metrik trägt, ist das
wohl nicht möglich. Versieht man jedoch \(\mathbb{R}\)
mit der diskreten Metrik, so ist jede Teilmenge sowohl offen
als auch abgeschlossen, hat also einen leeren Rand.

Comments

Ergibt SInn, wenn bspw. \(Y\subset \mathbb{R}^n\) abgeschlossen und offen, dann ist \(Y= \overline Y\) und \(Y= Y^{\circ}\), also \(\partial Y= \overline Y\setminus Y^{\circ}= Y\setminus Y=\emptyset\)

Danke :)

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Ja. Dann kann aber \(\mathbb{R}^n\) nicht die Standardmetrik

besitzen, da dieser Raum unter der Standardmetrik

zusammenhängend ist, also keine echten sowohl offenen

als auch abgeschlossenen Teilmengen besitzt.