Bestimmen Sie die Parameter a und b etc. (Funktionsscharen)

Question

Aufgabe Olympiafackel:

Für die Olympischen Spiele soll eine große metallische Fackel konstruiert werden. Sie soll 7,5 m hoch sein. Oben beträgt ihre Breite $8 \mathrm{~m}$, unten nur $2 \mathrm{~m}$.

Die Profilkurve der symmetrischen Fackel kann durch eine Funktion der Gestalt $f(x)=a-\frac{b}{x^{2}}$ beschrieben werden.

a) Bestimmen Sie die Parameter a und b. Kontrollergebnis: $\mathrm{a}=8, \mathrm{~b}=8$

b) In welcher Höhe über dem Erdboden beträgt die Neigung der Innenwand exakt $45^{\circ}$ ?

c) Der Hohlraum im Innern der Fackel ist - wie abgebildet - in seinem unteren Bereich kegelförmig ausgebildet.
Die Mantellinien des Kegels schließen tangential an das äußere Randprofil der Fackel an. Der Kegel ist an seiner Basis $4 \mathrm{~m}$ breit.

Wie lauten die Gleichungen der beiden Mantellinien?

Welches Volumen hat der Kegel?

d) Wie steil fällt die Innenwand der Fackel an ihrem äußeren oberen Rand? Wie groß ist die maximale Steilheit der Innenwand?

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe zum üben von Funktionsscharen bekommen. Allerdings muss ich sagen, dass ich nicht sonders weit bei dieser Aufgabe komme. Unsere Lehrerin hat nichts mit uns dieser Art Aufgaben besprochen. Ich bräuchte einfach mal eine Erklärung wie ich an so etwas rangehe.

Für die a) habe ich den Ansatz, dass x=2 ist wegen der Breite und y=7,5.Aber wie mache ich jetzt weiter?

Answer 1

a)  Die begrenzende Kurve geht (s. Zeichnung) durch

die Punkte (1;0) und (4; 7,5)

Beide in $f(x)=a-\frac{b}{x^{2}}$ eingesetzt gibt

$0 = a - \frac{b}{1}$  und  $7,5=a-\frac{b}{16}$

$b= a$  und $7,5=b-\frac{b}{16}$

$b= a$  und $120=16b-b$

$b= a$  und $120=15b$

$b= a$  und $8=b$.

b) Neigung 45° bedeutet Steigung = 1

$f(x)=8-\frac{8}{x^{2}}$ ==>  $f ' (x)=\frac{16}{x^{3}}$

also f ' (x) = 1. ==>   $1=\frac{16}{x^{3}}$

   ==>  x³ = 16

 ==>  x = 3.Wurzel aus 16

und   f(3.Wurzel aus 16) ≈ 4,83  .

Also in 4,83m Höhe.

c) Der Kegel ist ja in seinem Querschnitt das hellblaue Dreieck.

Die obere Linie ist 4m lang (wegen 4m breit).

Die Endpunkte bekommst du durch f(2)=6 Also der rechte

ist (2;6). Dort die Tangente bekommst mit der Steigung

$f ' (2)=\frac{16}{8} = 2$. Also Tangentengleichung:

           y=2x + n und wegn (2;6) liefert

             6 = 2*2+n den Wert n = 2

Also 1. Mantellinie ist die Tangente mit y = 2x+2.

Wegen der Symmetrie die 2. ist  y=-2x+2.

Damit hat der Kegel den Grundkreisradius r=2m (s.o. Breite 4)

und die Höhe 6m-2m=4m . Also mit $V=\frac{1}{3}r^2 \cdot h$ das

Volumen ausrechnen.

d) obere Rand ist bei x=4 bzw. x=-4.

Das Gefälle bei -4 liefert   $f ' (-4)=\frac{16}{-64} =-0,25$.

Also hat man am Rand ein Gefälle bzw. eine Steigung von 25%.

Maximale Steilheit wird bei x=1 erreicht, weil

$f ' (x)=\frac{16}{x^{3}}$  für x≥1 

die Gleichung einer streng monoton fallenden Funktion ist:

Je größer x ist, desto größer der Nenner also desto kleiner

der Wert des Bruches.

Kannst auch argumentieren mit: 2.Ableitung ist für x≥1 negativ.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Bearbeitung. Wenn man das so liest kommt das einem garnicht mal so schwierig rüber :D

Aber ich hätte noch 1-2 Fragen:

Bei a) hast du jeweils die äußersten Punkte ((1/0) (4/7,5)) genommen. Ist es egal welche Punkte man dafür nimmt? Wurden diese aus einem Grund gewählt?

Bei b) habe ich mich nur gefragt wie du die 3. Wurzel von 16 ausgerechnet hast. Bei mir kommt ≈2,52 raus.

Und wieso ist bei d) die maximale Steilheit bei x=1 und nicht bei z.B. 0,1? Dann wäre der Wert des Bruches doch noch kleiner, also die Steigung. Und bei x<1 wäre die Steigung doch positiv, also steigend, oder nicht?

Vielleicht könnten sie mir das nochmal erläutern?

Ich danke ihnen aber schonmal sehr :D