Bestimmen Sie den Fluss { }^{1} der strömenden Flüssigkeit durch die geknickte Fläche.

Question

Aufgabe:

Vektoren und Koordinatensysteme
1. Gegeben sei eine geknickte Fläche bestehend aus den beiden Rechtecken \( A B C D \) und \( C D E F \), deren Eckpunkte \( A(-1|0|-1), B(3|0|-1), C(3|4| 0), D(-1|4| 0), E(-1|4| 4) \) und \( F(3|4| 4) \) in der Einheit Meter angegeben seien. Durch die geknickte Fläche strömt eine Flüssigkeit mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit von \( 5 \frac{m}{s} \), wobei deren Geschwindigkeitskomponenten in positiver \( x \) - , positiver \( y \) - und negativer \( z \)-Richtung gleich groß seien. Bestimmen Sie den Fluss \( { }^{1} \) der strömenden Flüssigkeit durch die geknickte Fläche.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie die geknickte Fläche zu verstehen sein soll?

Answer 1

Aloha :)

Der Fluss \(\phi\) einer Flüssigkeit durch eine Fläche gibt an, wie viel Volumen \(V\) der Flüssigkeit pro Zeiteinheit durch eine Fläche fließt.$$\phi=\frac{dV}{dt}$$Wenn eine Flüssigkeit mit dem Tempo \(v=\frac{ds}{dt}\) senkrecht auf eine Fläche \(A_\perp\) trifft, können wir den Term umformen:$$Q=\frac{dV}{dt}=\frac{d(A_\perp\cdot s)}{dt}=\frac{A_\perp\,ds}{dt}=A_\perp\cdot\frac{ds}{dt}=A_\perp\cdot v$$

Mit dem normierten Normalenvektor \(\vec n\) der Fläche \(A\) lautet dies vektoriell:$$\pink{\phi=A\cdot\vec n\cdot\vec v}$$

Damit sollte unser Vorgehen klar sein...

Hier ist uns das Tempo \(v=5\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\) und die Fließrichtung \((1;1;-1)^T\) der Flüssigkeit bekannt. Wir kennen also den Geschwindigkeitsvektor$$\vec v=\frac{5}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$

Von den beiden Rechteckflächen \(ABCD\) und \(CDEF\) brauchen wir Betrag und Normalenvektor. Wir glauben dem Aufgabensteller, dass die genannten Eckpunkte tatsächlich Rechtecke defnieren und bestimmen direkt die zugehörigen Werte:$$A_1\cdot\vec n_1=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-4\\16\end{pmatrix}$$$$A_2\cdot\vec n_2=\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CF}=\begin{pmatrix}-4\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\16\\0\end{pmatrix}$$

Das setzen wir zum gesuchten Fluss zusammen:$$\phi=\left(A_1\vec n_1+A_2\vec n_2\right)\cdot\vec v=\begin{pmatrix}0\\12\\16\end{pmatrix}\cdot\frac{5}{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\frac{5}{\sqrt3}(12+16)=\frac{140}{\sqrt3}\approx80,83$$Es fließen also \(80,83\,\mathrm{m^3}\) Flüssigkeit pro Sekunde durch die geknickte Fläche.

Answer 2

Hallo wie ein geknicktes Papier, das hochgebogen ist, Siehe mine Skizze.  die Normalen findet man durch die Koordinatengleichung der 2 Ebenen, die Grenzen sind wohl Kar die der Rechtecke.

Gruß lul