Aufgabe:
Beweisen bzw. widerlegen Sie, dass die folgenden Mengen Untervektorräume der angegebenen R-Vektorräume sind:
a){f∈Abb(R,R)∣∃x0∈R:f(x0)=0}
Ich bin mir bei meiner Lösung sehr unsicher:(
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
b) \( \left\{f \in A b b(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid \exists x_{0} \in \mathbb{R}: f\left(x_{0}\right)=0\right\} \subseteq A b b(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \)
1) \( 0 \in A b b(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \)
\( f(x)=0 \) für alle \( x \)
\( f(0)=0 \) für jedes funiction \( f \in A b b(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \)
Somit ist die Nulfunktion in die renge enthalten
2) \( \forall f, g \in A b b(\mathbb{R}, \mathbb{R}): f+g \in A b b(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \)
Das bedentet \( x_{o_{f}}, x_{0 g} \in \mathbb{R} \) mit \( f\left(x_{0 p}\right)=0 \) und \( g\left(x_{0 g}\right)=0 \)
\( (f+g)\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right)=0 \text { +0 }=0 \)
Somit ist diese Bedingung and erfüut.
3) \( \forall \neq \in A b b(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \forall c \in \mathbb{R}: \quad c f \in A b b(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \)
\( (C . f)\left(x_{0}\right)=C \cdot\left(x_{0}\right)=C \cdot 0=0 \)
Somit ist diese Bedingung auch effüll.
Do alle Eigenschaften erfüllt sind, ist die Menge eine untervektorraum
