Aufgabe:
Die folgenden Teilmengen sind
\( \mathbb{Z}[\sqrt{2}]:=\{a+b \sqrt{2} \in \mathbb{R} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}):=\{a+b \sqrt{2} \in \mathbb{R} \mid a, b \in \mathbb{Q}\} \subseteq \mathbb{R} \)
mit den von \( \mathbb{R} \) geerbten Operationen ein Integritätsbereich bzw. ein Körper.
Sei \( N: \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \rightarrow \mathbb{Z} \) definiert durch \( N(a+b \sqrt{2})=a^{2}-2 b^{2} \). Beweisen Sie:
(d) Die Einheitengruppe $$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]^*$$ besteht genau aus den Elementen $$\pm(1+\sqrt{2})^n$$ für $$n \in \mathbb{Z}$$ und ist isomorph zum direkten Produkt $$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}$$.
Problem/Ansatz:
Kann mir jemand hier helfen?
