Was du also tatsächlich zu zeigen hast, wenn man erstmal die Aufgabe übersetzt:
\([x]\) ist invertierbar in \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) genau dann, wenn \(x\) und \(n\) teilerfremd sind.
Falls Notation unklar ist, \([x]\) steht für die Äquivalenzklasse von \(x\), wenn ihr sowas nicht macht, sieh es einfach als eine Zahl zwischen 0 und n-1 und alle nachfolgenden Rechenoperationen sind mod n.
Seien erstmal \(x,n\) nicht teilerfremd, dann gibt es ein \(k\), sodass \(k\) beide Zahlen teilt. Sei außerdem \(k\cdot r = n\) für ein bestimmtes \(r\). Dann muss aber \(x\cdot r\) ein Vielfaches von \(n\) sein, da \(x\) ja auch \(k\) als Teiler hat. Also gilt \([x]\cdot [r] = [0]\), \([x]\) kann also keine Einheit sein, da es einen Nullteiler besitzt.
Seien jetzt \(x,n\) tatsächlich teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout existieren \(a,b\in\mathbb{Z}\), sodass \(ax + bn = 1\), im Restklassenring folgt daraus \([a]\cdot[x]=[1]\), also ist \([x]\) eine Einheit.
