allgemeine reelle Lösung des Differenzialgleichungssystems bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die allgemeine reelle Lösung des Differenzialgleichungssystems
\(\dot{\boldsymbol{x}}(t)=\left(\begin{array}{cc}2 & 61 \\-1 & -8\end{array}\right) \boldsymbol{x}(t) .\)

Welche der folgenden Varianten stellt die richtige Lösung dar?
Beachten Sie, dass die Eigenvektoren nicht eindeutig sind und Sinusfunktion ungerade bzw. Kosinusfunktion gerade ist.

(a) \( \quad x(t)=C_{1} e^{6 \cdot t}\left(\begin{array}{c}5 \cdot \sin (6 \cdot t)-6 \cdot \cos (6 \cdot t) \\ -\sin (6 \cdot t)\end{array}\right)+C_{2} e^{6 \cdot t}\left(\begin{array}{c}5 \cdot \cos (6 \cdot t)-6 \cdot \sin (6 \cdot t) \\ -\cos (6 \cdot t)\end{array}\right) \)

(b) \( \quad \boldsymbol{x}(t)=C_{1} e^{-3 \cdot t}\left(\begin{array}{c}5 \cdot \sin (6 \cdot t)-6 \cdot \cos (6 \cdot t) \\ -\sin (6 \cdot t)\end{array}\right)+C_{2} e^{-3 \cdot t}\left(\begin{array}{c}5 \cdot \cos (6 \cdot t)-6 \cdot \sin (6 \cdot t) \\ -\cos (6 \cdot t)\end{array}\right) \)

(c) \( \quad x(t)=C_{1} e^{6 \cdot t}\left(\begin{array}{c}6 \cdot \sin (6 \cdot t)-5 \cdot \cos (6 \cdot t) \\ \cos (6 \cdot t)\end{array}\right)+C_{2} e^{6 \cdot t}\left(\begin{array}{c}-5 \cdot \sin (6 \cdot t)-6 \cdot \cos (6 \cdot t) \\ \sin (6 \cdot t)\end{array}\right) \)

(d) \( \quad \boldsymbol{x}(t)=C_{1} e^{-3 \cdot t}\left(\begin{array}{c}6 \cdot \sin (6 \cdot t)-5 \cdot \cos (6 \cdot t) \\ \cos (6 \cdot t)\end{array}\right)+C_{2} e^{-3 \cdot t}\left(\begin{array}{c}-5 \cdot \sin (6 \cdot t)-6 \cdot \cos (6 \cdot t) \\ \sin (6 \cdot t)\end{array}\right) \)

Ich habe bereits die Eigenwerte ausgerechnet und somit kommt nur noch a) oder c) infrage.

Durch das Abgleichen mit den Eigenvektoren denke ich, es ist c). Stimmt das?

Answer 1

Hallo,

Eigenwerte: λ_1,2 = -3 ± i6

-3+6i ------->Eigenvektor  \( \begin{pmatrix} -5-6i\\1\\\end{pmatrix} \)

-3-6i ------->Eigenvektor \( \begin{pmatrix} -5+6i\\1\\\end{pmatrix} \)

ich habe d als Lösung erhalten.

x = C₁ \( e^{-3t} \) (cos(6t) \( \begin{pmatrix} -5\\1\\ \end{pmatrix} \) - (sin(6t) \( \begin{pmatrix} -6\\0\\ \end{pmatrix} \)) + C₂ \( e^{-3t} \) (cos(6t) \( \begin{pmatrix} -6\\0\\ \end{pmatrix} \) + (sin(6t) \( \begin{pmatrix} -5\\1\\ \end{pmatrix} \))