Aufgabe:
Bestimmen sie die allgemeine Lösung des Differenzialgleichungssystems
Bestimmen sie die allgemeine reelle Lösung des Differenzialgleichungssystems
\( \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\left(\begin{array}{cc} 2 & 9 \\ -1 & 2 \end{array}\right) \boldsymbol{x}(t) \text {. } \)
Welche der folgenden Varianten stellt die richtige Lösung dar?
Beachten Sie, dass die Eigenvektoren nicht eindeutig sind und Sinusfunktion ungerade bzw. Kosinusfunktion gerade ist.
(a) & \( \boldsymbol{x}(t)=C_{1} e^{3 \cdot t}\left(\begin{array}{c}-3 \cdot \cos (3 \cdot t) \\ -\sin (3 \cdot t)\end{array}\right)+C_{2} e^{3 \cdot t}\left(\begin{array}{c}-3 \cdot \sin (3 \cdot t) \\ -\cos (3 \cdot t)\end{array}\right) \) \\
(b) & \( \boldsymbol{x}(t)=C_{1} e^{2 \cdot t}\left(\begin{array}{c}-3 \cdot \cos (3 \cdot t) \\ -\sin (3 \cdot t)\end{array}\right)+C_{2} e^{2 \cdot t}\left(\begin{array}{c}-3 \cdot \sin (3 \cdot t) \\ -\cos (3 \cdot t)\end{array}\right) \) \\
(c) & \( \boldsymbol{x}(t)=C_{1} e^{3 \cdot t}\left(\begin{array}{c}3 \cdot \sin (3 \cdot t) \\ \cos (3 \cdot t)\end{array}\right)+C_{2} e^{3 \cdot t}\left(\begin{array}{c}-3 \cdot \cos (3 \cdot t) \\ \sin (3 \cdot t)\end{array}\right) \) \\
(d) & \( \boldsymbol{x}(t)=C_{1} e^{2 \cdot t}\left(\begin{array}{c}3 \cdot \sin (3 \cdot t) \\ \cos (3 \cdot t)\end{array}\right)+C_{2} e^{2 \cdot t}\left(\begin{array}{c}-3 \cdot \cos (3 \cdot t) \\ \sin (3 \cdot t)\end{array}\right) \) \\
Problem/Ansatz:
Ich habe bereits die Eigenwerte ausgerechnet und somit kommt nur noch a) oder c) infrage. Durch das Abgleichen mit den Eigenvektoren denke ich, es ist c). Stimmt das?
