DGL y' = -cos(x) sin(x) /y^2, y(0)=2

Question

Aufgabe:
Anfangswertproblem Differentialgleichung Hilfestellung

-(cos(x)*sin(x))/y^2  mit y(0) = 2

Hinweis: Integral von sin(ax)*cos(ax) dx = sin^2(ax)/(2a) +c

Lösung: y(x) = (3*cos(2x)+29)^(1/3) / 2^(2/3)

Problem/Ansatz:

y' = dy/dx

Trennung der variablen nach dy und dx

anschließend integrieren beider Seiten

und unter Verwendung des Hinweises folgt:

y(x) = (-3*sin^2(2x)+c')^(1/3) / 4^(1/3)

Ich verstehe nicht wie man von sin^2(2x) auf cos(2x) kommt.
Wie muss man hier vorgehen?
Wie man C' berechnet ist mir bekannt,

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Bitte schreibe die komplette DGL , da fehlt was

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Vielen Dank für deine Antwort.

Was fehlt an der DGL?
Ich habe es unter der Antwort von mathef nochmals formatiert damit es besser lesbar ist, und meine Rechenwege ergänzt.

Answer 1

Hallo,

\( y^{\prime}=-\frac{\cos (x) * \sin (x)}{y^{2}} ; y(0)=2 \)

dy/dx= - (cos(x) sin(x))/y^2

y^2 dy= -cos(x) sin(x) dx

Hinweis: Integral von \( \sin (a x)^{*} \cos (a x) d x=\sin ^{2}(a x) /(2 a)+c \)

y^3/3 = - (sin^2(x)/2 +C | *3

y^3 = - 3(sin^2(x)/2 +3C ; 3C=C₁

y= (-(3/2) sin^2(x) +C₁)^(1/3)

AWB: y(0)=2 : ->C₁=8

y= (-(3/2) sin^2(x) +8)^(1/3) ->das ist bereits die Lösung, wenn nicht anders gefordert

Allgemein gilt: cos(2x)= 1 -2 sin^2(x)
sin^2(x)= (1-cos(2x))/2

\( \begin{array}{l}y=\left(-\frac{3}{2} \sin ^{2}(x)+8\right) ^\frac{1}{3} ; \sin ^{2}(x)=\frac{1-\cos (2 x)}{2} \\ y=\left(-\frac{3}{2}\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right)+8\right)^{\frac{1}{3}} \\ y=\left(\frac{-3+3 \cos (2 x)}{4}+8\right)^{\frac{1}{3}} \\ y=\left(\frac{-3+3 \cos (2 x)+32}{4}\right)^{\frac{1}{3}} \\ y=\left(\frac{3 \cos (2 x)+29}{4}\right)^{\frac{1}{3}} \\ y=\frac{(3 \cos (2 x)+29)^{\frac{1}{3}}}{4^{1 / 3}} \\ y=\frac{(3 \cos (2 x)+29)^{\frac{1}{3}}}{2^{2 / 3}}\end{array} \)

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Vielen Dank für die sehr gute Erklärung!!!

Answer 2

Es ist doch \(  \cos(2x) = 1-2\sin^2(x)   \)  (über Add.theorem)

Der Rest steckt dann in der Konstanten.

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Vielen Dank für deine Antwort.
Leider komme ich noch nicht weiter.
32 - 3 vor dem Sinus ergäbe meine 29. Aber um ehrlich zu sein rate ich etwas mehr wie man auf diese Lösung kommen könnte durch Verwendung der Additionstheoreme,

Könnten Sie mir bitte zeigen, wie man das richtig macht?
$$ y'=-\frac{ cos(x) * sin(x)}{ y^2 }; y(0) =2 \\ Hinweis: \int sin(ax)*cos(ax) dx = \frac{sin^2(ax)}{2ax}+c (a darf nicht null sein)\\ Loesung: y(x) = \frac{(3*cos(2x)+29)^{1/3}}{2^{2/3}} \\ Rechenweg: y'=-\frac{1}{y^2}*cos(x)*sin(x)\\ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{y^2}*cos(x)*sin(x)\\ -y^2dy = cos(x)*sin(x)dx\\ -\frac{y^3}{3}=\frac{sin^2(2x)}{2*2}+c'\\ y^3=\frac{-3*sin^2(2x)}{4}+c'\\ y= \frac{(-3sin^2(2x)+c')^{1/3}}{4^{1/3}}\\ Berechnung von C' mit AWP y(0) = 2 \\ y^3=\frac{-3sin^2(2x)+c'}{4}\\ 2^3 = \frac{-3sin^2(2*0)+c'}{4}\\ 8=\frac{c'}{4}\\ C'=32 $$

Answer 3

Der \( \cos \) ist die Ableitung des \( \sin \) oder hier fast besser: der \( -\sin \) ist die Ableitung des \( \cos \). In beiden Fällen lässt sich oberprimitiv integrieren.

(Wie bescheuert muss man eigentlich sein, hier mit einem Additionstheorem die Dgl. auch noch nutzlos zu verkomplizieren?)

Eine allgemeine Lösung lautet $$ 2y^3 = -3 \sin^2 x+C_0 $$ mit $$ C_0 = 2y_0^3+3\sin^2 x_0 $$ und eine spezielle Lösung lautet $$ 2y_\text{s}^3 = -3\sin^2 x+16 $$.

(Und eine Dgl. bleibt implizit stehen und wird nicht nach \( y\) aufgelöst, man zerstört sich damit oft Lösungen bzw. schränkt diese unnötig ein. (Aber zumindest gut dressiert sind hier einige.))

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Vielen Dank für die Ergänzung!