Untersuchung von Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Question

Die Abbildungen sollen nach Injektivität, Surjektivität und Bijektivität untersucht werden.
Wollte mal nachfragen, ob ich es so richtig verstanden hab und ob die Lösung so ausreichend ist.

Würde mich über kurzes Feedback freuen.

Text erkannt:

$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}_{k}, n \rightarrow n+5 \bmod k$, wobei $k \in \mathbb{N}$ beliebig.
Injektivität:
Diese Abbildung ist nicht Injektiv, da mehrere Elemente aus dem Definitionsbereich auf dasselbe Element im Wertebereich zutreffen.

Beispiel für $k=5$
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline $\boldsymbol{n}$ & $\boldsymbol{f ( n )}$ \\
\hline 1 & 1 \\
\hline 2 & 2 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline 4 & 4 \\
\hline 5 & 0 \\
\hline 6 & 1 \\
\hline 7 & 2 \\
\hline 8 & 3 \\
\hline 9 & 4 \\
\hline 10 & 0 \\
\hline
\end{tabular}

Man kann sehen, dass z.B. für $n=1$ und $n=6$ derselbe Wert zutrifft.
Surjektivität:
Diese Abbildung ist nicht surjektiv, da wenn man z.B. für $k=5$ nimmt, kann der Wert 5 nie erreicht werden. Siehe Beispiel oben.

Bijektivität:
Diese Abbildung ist nicht injektiv und auch nicht surjektiv, somit auch nicht bijektiv.
$g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, n \rightarrow 2 n-1$
Injektivität:
$g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, n \rightarrow 2 n-1$ ist injektiv, wenn
$\forall n_{1}, n_{2} \in \mathbb{N}: f\left(n_{1}\right)=f\left(n_{2}\right)=>n_{1}=n_{2}$
Z.z.: $f\left(n_{1}\right)=f\left(n_{2}\right)$
$\begin{array}{ll} 2 n_{1}-1=2 n_{2}-1 & \mid+1 \\ 2 n_{1}=2 n_{2} & \mid \div 2 \\ n_{1}=n_{2} & \end{array}$

Somit ist die Injektivität bewiesen.
Surjektivität:
Die Abbildung zeigt alle ungeraden Zahlen, die enthalten sind in den natürlichen Zahlen. Die geraden Zahlen werden nie getroffen und somit ist die Abbildung nicht surjektiv.

Bijektivität:
Diese Abbildung ist zwar injektiv, aber nicht surjektiv und somit auch nicht bijektiv.

Answer 1

Soweit in Ordnung. Aber die erste Funktion ist surjektiv, denn $5\notin \mathbb{Z}_5$.

Comments

Stimmt, danke!

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Für die Surjektivität ist die Begründung

denn $5 \not \in \Z_5$

nicht korrekt.

Man hätte oben auch mit dem Repräsentantensytem 1,2,3,4,5 die Tabelle anlegen können. Hättest du dann gesagt, "$0 \not \in \Z_5$"?

Entscheidend für die Surjektivität ist, dass für jede Restklasse $(r\mod 5)$ die Gleichung

$r\equiv n+5 \equiv n \mod 5$

eine Lösung in $\Z$ hat.

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Ist $\mathbb{Z}_5$ nicht die Restklasse modulo 5? Also dann die Menge {0,1,2,3,4}?

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@martinschi
$Z_5$ sind die Restklassen modulo 5. Aber $\{0,1,2,3,4\}$ ist ein Repräsentantensystem für die Restklassen. Da $5\equiv 0 \mod 5$, repräsentieren 0 und 5 dieselbe Restklasse.

Jetzt gibt es verschiedene Möglichkeiten:

Man identifiziert die Restklassen mit ihren Repräsentanten. Dann ist aber $0=5$ und "$5\not \in \Z_5$" macht keinen Sinn.

Oder man legt Wert auf die Unterscheidung zwischen Repräsentant und Restklasse. Dann schreibt man z. Bsp. "$[0], [0]_5, 0(5), 0\mod 5$ etc.

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@martinschi

Man kann sich natürlich auch auf die Isomorphie von $\Z_5$ und {0,1,2,3,4} mit den von $\Z_5$ induzierten Operationen beziehen. Dann muss man aber klarstellen, dass man nun die Zahlen 0,1,2,3,4 im mehrfachen Sinne benutzt:

Als natürliche Zahlen, als Repräsentanten von Restklassen und als eigenständige Objekte mit den von $Z_5$ induzierten Operationen.

$\Z_5$ ist nun mal der Restklassenring.

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Für die Surjektivität ist die Begründung
denn $5 \not \in \Z_5$
nicht korrekt.

Das stimmt, da habe ich mich unglücklich ausgedrückt. Ich wollte viel mehr darauf hinaus, dass die Begründung des FS falsch ist, da 5 eben nicht in der Zielmenge enthalten ist und daher auch nicht getroffen werden muss.