Hallo Mathelounge community,
Ich habe wieder mal einen Ansatz jedoch keine Ahnung ob das richtig wäre, und wollte fragen ob mir jemand vlt. helfen könnte und darüber schauen könnte und mir sagen kann, ob die methode richtig ist oder ab man eine andere anwenden muss.
Danke im voraus!
Aufgabe:
(a) Bestimmen Sie, fur welche a ∈ R ≥0 die Funktion f : R → R mit
Die Funktion
f(x)={ x + 2 falls x < a
(x−a)^2 + a^2 falls x ≥ a
surjektiv ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Funktion f : R → R mit f(x) = 2x + |x| bijektiv ist und geben Sie eine Umkehrfunktion von f an.
Problem/Ansatz:
(a)
Die Funktion
f(x)={ x + 2 falls x < a
(x−a)^2 + a^2 falls x ≥ a
ist surjektiv, wenn ihr Wertebereich die gesamten reellen Zahlen umfasst. Das bedeutet, dass es für jede reelle Zahl y
mindestens ein x gibt, so dass f(x)=y. Da der Wertebereich der Funktion f für x<a alle reellen Zahlen kleiner als a+2 und für
x ≥ a alle reellen Zahlen größer oder gleich a^2 ist, ist die Funktion surjektiv, wenn a + 2 ≤ a^2. Dies ist der Fall für alle a≥2
b)
Die Funktion f(x)= 2x+ ∣x∣
ist bijektiv, da sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Die Injektivität kann gezeigt werden, indem man annimmt, dass
f(x1)=f(x2)
und dann zeigt, dass dies nur der Fall sein kann, wenn x1=x2.
Die Surjektivität kann gezeigt werden, indem man für jede reelle Zahl y ein x findet, so dass f(x)=y.
Die Umkehrfunktion f−1(y) kann gefunden werden, indem man y=2x+∣x∣ nach x auflöst.
Dies ergibt:
f^−1 (y) = { \( \frac{y}{3} \) falls y ≥ 0
-\( \frac{y}{2} \) falls y < 0
ab diesen punkt weiss ich nicht ob es vollständig ist oder ob ich was dazu ergänzen muss sodass es vollständig wird.
