Injektiv Surjektiv Bijektiv Verkettete Funktion

Question

Aufgabe:

Seien f : A −→ B und g : B −→ C zwei Abbildungen. Welche der Aussagen sind wahr bzw  falsch? für die falschen soll ich ein gegenbsp geben.
a) Wenn f und g surjektiv sind, dann ist auch g ◦ f surjektiv.

b) Wenn f und g injektiv sind, dann ist auch g ◦ f injektiv.

c) Wenn f injektiv ist und g surjektiv ist, dann ist g ◦ f bijektiv.

Problem/Ansatz:

a) hätte ich so gemacht:

wenn f surjektiv gibt es für jedes y in B ein x in A damit gilt f(x)=y

unf wenn g surjektiv ist gibt es für jedes z in C ein y in B damit gilt g(y)=z

zz für jedes z in C gibt es ein x in A damit gilt (g ◦ f)(x)=z

-> (g ◦ f)(x) =g(f(x))=g(y)=z.

damit ist g ◦ f surjektiv .

b) wenn f injektiv ist gibt es für jedes y in B höchstens ein x in A damit gilt f(x1)=f(x2)->x1=x2

und wenn g injektiv ist gibt es für jedes z in C höchstens ein y in B damit gilt

g(y1)=g(y2)->y1=y1

zz für jedes z in C gibt es höchstens ein x in A damit gilt

(g ◦ f)(x1)=(g ◦ f)(x2) -> x1=x2.

sei f(x1)=y1 und f(x2)=y2

-> (g ◦ f)(x1)= =g(f(x1))=g(y1)= (g ◦ f)(x2)=g(f(x2)=g(y2) -> y1=y2 =f(x1)=f(x2)=x1=x2

somit ist (g ◦ f) injektiv .(Falls das stimmen sollte ich verstehe nicht warum man sagt sei f(x1)=y1 und f(x2)=y2.

c)

wenn f injektiv ist gibt es für jedes y in B höchstens ein x in A damit gilt f(x1)=f(x2)->x1=x2

und wenn g surjektiv ist gibt es für jedes z in C ein y in B damit gilt g(y)=z

aber weiter weiß ich hier nicht. Irgendwie macht ab hier nix sinn bei mir .

Answer 1

(g ◦ f)(x) =g(f(x))=g(y)=z.

Wo kommen x, y und z her?

Grund für diese Frage ist:

wenn f surjektiv gibt es für jedes y in B ein x in A damit gilt f(x)=y

Dadurch wird nicht definiert, was x und y sind.

Stattdessen: Sei z ∈ C.

Sei y ∈ B mit g(y) = z. Ein solches y existiert, weil g surjektiv ist.

Sei x ∈ A mit f(x) = y. Ein solches x existiert, weil f surjektiv ist.

Dann ist (g ◦ f)(x) = z. Weil z ∈ C beliebig gewählt wurde, ist g ◦ f surjektiv.

aber weiter weiß ich hier nicht.

c) ist falsch.

Tipp. Die Identität ist injektiv.

Comments

was heißt identität ist injektiv ? Ist die Aussage c) überhaupt wahr?

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Sei \(M\) eine Menge. Sei \(\mathrm{id}\) eine Abbildung von \(M\) nach \(M\).

Die Abbildung \(\mathrm{id}\) heißt Identität, wenn \(\mathrm{id}(m) = m\) für jedes \(m\in M\) ist.

Was injektiv bedeutet steht in deinen Unterlagen.

Ob c) überthaupt wahr ist steht in meiner Antwort.