[Funktionen mehrerer veränderlicher] Zeigen Sie g ○ f ∈ C1 (R2 , R2 )

Question

Hallo wie prüfe ich folgendes ob es in C¹ ist?
g$\begin{pmatrix} sin(t_1)\\t_1t^3_2\\t^4_2+1 \end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix} sin(t_1)|t^4_2+1|\\t_1t^3_2-t^4_2-1 \end{pmatrix}$

Answer 1

Da gibt es nicht viel zu zeigen, denn die Verkettung von $C^1$-Funktionen ist wieder $C^1$.

Du musst also nur feststellen, ob dies so ist.

Dazu betrachtest du die Funktionen einzeln:

$$f:\; \begin{pmatrix} t_1\\t_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \sin t_1\\t_1 t_2^3\\t_2^4+1 \end{pmatrix}$$

$$g:\; \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x|z|\\y-z \end{pmatrix}$$

$f$ hat offenbar nur stetig differenzierbare Komponenten.

Bei $g$ ist nur $|z|$ scheinbar ein Problem. Aber glücklicherweise gilt

$$t_2^4+1 > 0 \Rightarrow f\left(\mathbb R^2\right)\subset \mathbb R^2\times (0,\infty)$$

D.h., auf $f\left(\mathbb R^2\right)$ gilt $|z| = z$:

$$\left. g\right|_{f\left(\mathbb R^2\right)}:\; \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x{\color{blue}{z}}\\y-z \end{pmatrix}$$

Damit ist $g$ eingeschränkt auf das Bild von $f$ auch $C^1$ und alles ist schick.

Nachtrag:

Du kannst es dir natürlich auch ganz leicht machen, und einfach die verkettete Funktion anschauen und feststellen, dass $|t_2^4+1| = t_2^4 + 1$ gilt. Damit bestehen die Komponenten der verketteten Funktion nur aus $C^1$-Funktionen und ist damit selbst $C^1$.