h(x)=1/4x2-2
Der Punkt B(h/h(u))
Gemeint ist sicher h ( x ) = ( 1 / 4 ) x 2 - 2 sowie der Punkt B ( u | h ( u ) ) , nicht wahr?
Nun, für u = 1 ergibt sich der Punkt B ( 1 | ( 1 / 4 ) * 1 2 - 2 ) = ( 1 | - 7 / 4 )
Daas Dreieck soll also achsensymmetrisch sein.
Da stellt sich nun die Frage, zu welcher der Achsen es symmetrisch sein soll, zur x-Achse oder zur y-Achse ... ?
Ich gehe davon aus, dass es symmetrisch zur y-Achse sein soll. Dann ergibt sich für den Punkt A
A ( - 1 | - 7 / 4 )
Flächeninhalt:
Die Höhe auf die Seite AB eines solchen Dreiecks liegt auf der y-Achse und hat gerade die Länge | h ( u ) | , ist also für u = 1 gerade | h ( 1 ) | = | - 7 / 4 |= 7 / 4 lang. Aufgrund der Achsensymmetrie teilt sie das Dreieck in zwei gleich große, rechtwinklige Dreiecke.
Sein Flächeninhalt A ( u ) beträgt daher:
A ( u ) = 2 * u * | h ( u ) | / 2 = u * | h ( u ) | = u * | ( 1 / 4 ) u 2 - 2 |
Nun wird es leider etwas kompliziert:
Auflösen des Betrages:
u * | ( 1 / 4 ) u 2 - 2 | = u * ( ( 1 / 4 ) u 2 - 2 )
falls ( 1 / 4 ) u 2 - 2 ≥ 0 <=> u 2 ≥ 8 <=> u ≤ - √ 8 oder u ≥ √ 8
Dieser Fall entfällt, da gelten soll 0 < u < 2
u * | ( 1 / 4 ) u 2 - 2 | = u * ( 2 - ( 1 / 4 ) u 2 )
falls ( 1 / 4 ) u 2 - 2 < 0 <=> u 2 < 8 <=> - √ 8 < u < √ 8
In diesem Bereich liegt das Intervall, aus dem u stammen soll.
Also:
A ( u ) = u * ( 2 - ( 1 / 4 ) u 2 ) = 2 u - u 3 / 4
A ( u ) = 2
<=> 2 u - u 3 / 4 = 2
<=> 8 u - u 3 = 8
<=> - u 3 + 8 u - 8 = 0
Man sieht "sofort": Eine Lösung ist u = 2. Diese ist jedoch nicht zulässig, da laut Aufgabenstellung für u gelten soll:
0 < u < 2
Man kann aber nun eine Polynomdivision durchführen:
( - u 3 + 8 u - 8 ) : ( u - 2 ) = - u 2 - 2 u + 4
und die Nullstellen dieses Ergebnisses berechnen:
- u 2 - 2 u + 4 = 0
<=> u 2 + 2 u - 4 = 0
<=> u 2 + 2 u = 4
<=> u 2 + 2 u + 1 = 5
<=> ( u + 1 ) 2 = 5
<=> u + 1 = ± √ 5
<=> u = - 1 - √ 5 oder u = - 1 + √ 5 ≈ 1,236
Nur die zweite Lösung u ≈ 1,236 liegt im zulässigen Bereich.
Also: Für u ≈ 1,236 hat die Fläche des Dreiecks den Flächeninhalt 2.
