Grenzwert von konvergierenden Folgen

Question

Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe:

$$\text{Berechnen Sie den Grenzwert folgender konvergierender Folgen: }\\\text{(i) } (\frac{4n^3+n^2}{n^4+27n^2+n})_{n \geq 1} \\\text{(ii) } (-(\frac{n^4+4n^2+12}{n^2} - \frac{n^5+n^3}{n^3+1}))_{n \geq 1} \\\text{(iii) } (\frac{7^n}{2^n-7^n+5^n})_{n \geq 1}$$

Es gibt auch noch weitere, aber diese konnte ich bereits lösen. Könnte mir jemand zeigen, wie ich mit diesen 3 Teilaufgaben umzugehen habe.

Vielen Dank :)

EDIT: Die (ii) habe ich gerade gelöst. Einfach auf einen Nenner gebracht. Gerne das Ergebnis aber prüfen. Habe da -3 raus.

Answer 1

zu 1) Der Grad der Nennerfunktion ist größer als der Grad der Zählerfunktion → Grenzwert zwangsläufig 0.

zu 3) Teile Zähler und Nenner durch 7^n.

Comments

Hat wunderbar geklappt. Vielen Dank :)

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Deine -3 bei ii) stimmt aber nicht.

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Oh. Was hast du denn raus? Wenn man erweitert, dann ist die höchste Potenz doch n^7. Diese kürzt sich dann weg. Dann hat man auf der einen Seite noch 4n^5-n^5 = 3n^5. Bei mir ist dann die höchste Potenz n^5, welche ich ausklammere und anschließend konvergiert alles gegen 0 bei mir und es bleibt -(3/1). Falls das ein wenig unverständlich war, kann ich später mal meinen Rechenweg per Latex aufschreiben.

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Erweitern?

Autsch.

Kürzen!

Der Bruch vor dem Minuszeichen ergibt

\(n^2+4+\frac{12}{n^2}\), der Bruch nach dem Minuszeichen ist \(\frac{n^2(n^3+1)}{n^3+1}\) und ist gekürzt einfach nur n².

Die Differenz ist  \(4+\frac{12}{n^2}\) und geht gegen 4.

Vor diesem Differenzterm steht noch der Faktor -1, der Grenzwert ist also -4.

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Oh, da lag der Fehler.. vielen Dank!

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Nach dem Minuszeichen sehe ich in der Aufgabenstellung einen anderen Term als abakus?

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Du hast recht, ich habe mich bei einem Exponenten verguckt.