Herleitung Kreis Tangente

Question

Aufgabe: Die Tangenten um einen Punkt \(P\) an einem Kreis \(k\) mit \((\vec{x}-\vec{m})^2= r^2\) berühren den Kreis in den Punkten \(B_1\) und \(B_2\). Diese Punkte sind die Schnittpunkte des Kreises mit der Gerade$$ \left<(\vec{p}-\vec{m}) ,\, (\vec{x}-\vec{m}) \right>=r^2$$((vektor p)-(vektor m))Skalarmultipliziert (( Vektor x)-(vektor m)=r^2

Problem/Ansatz Wie bekomme ich eine Herleitung für diese Erkenntnis heraus

Ich habe schon eine Zeichnung angefertigt aber komme leider nicht weiter

Answer 1

Die Gerade B₁B₂ stet senkrecht auf MP. Daher gilt \( \vec{B_1B_2} \) ·\( \vec{MP} \) =0

Answer 2

Die Zeichnung ist schonmal gut. Ergänze mal eine Gerade durch P und M. Dann erhältst du:

\((p-m) + (B_i - p) = B_i - m\) mit \(|B_i-m| = r\)

Nun ist aber der Radius senkrecht auf der Tangente. Also

\((B_i - m) \perp (B_i - p) \Leftrightarrow (B_i - m) \cdot (B_i - p)=0 \quad (1)\)

Damit erhältst du:

\(r^2 = |B_i - m|^2 = ((p-m) + (B_i - p))\cdot (B_i - m) \stackrel{(1)}{=} (p-m)\cdot (B_i - m)\).

Genau das war zu zeigen.

Comments

Aber wie zeige ich so dass die berührpunkte Schnittpunkte des Kreises mit genau der geraden Gleichung sind (rosa Linie)

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Wenn du in meiner letzten Gleichung für \(B_i\) die Variable x einsetzt, steht die Gleichung da.

Etwas Mitdenken ist auch erlaubt.