Aloha :)
Die Dichte der Wolke hängt nur vom Abstand r zum Zentrum ab:ρ(r)=r2(r+3)21Wenn der Radius der Wolke R ist, tastet der folgende Vektor r alle Punkte der Gaswolke ab:r=⎝⎛rcosφsinϑrsinφsinφrcosφ⎠⎞;r∈[0;R];φ∈[0;2π];ϑ∈[0;π]Mit dem Volumenelement dV=r2sinϑdrdφdϑ können wir daher die Masse der Wolke durch folgendes Integral bestimmen:
M=r=0∫Rφ=0∫2πϑ=0∫πρ(r)dV=r=0∫Rφ=0∫2πϑ=0∫πr2(r+3)21r2sinϑdrdφdϑM=r=0∫R(r+3)21dr⋅φ=0∫2πdφ⋅ϑ=0∫πsinϑdϑ=[−r+31]0R⋅[φ]02π⋅[−cosϑ]0πM=(−R+31+31)⋅(2π−0)⋅(1−(−1))=3R+9R⋅2π⋅2=3R+94πR
Da kosmische Gaswolken sehr riesig sind (R→∞) könnte man die Gesamtmasse der Wolke noch nach oben abschätzen:M<R→∞lim3R+94πR=R→∞lim3+R94π=34π