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Aufgabe:

die Aufgabe sei es mit einer gegeben Dichtefunktion p(r)=1r2(r+3)2p(\vec{r}) = \frac{1}{r^2(r+3)^2} die Masse einer Gaswolke mithilfe des Volumenintegrals und Kugelkoordinaten zu berechnen. Die Formel dafür lautet M=Ωp(r)dVM = \int \limits_{}^{}\int \limits_{Ω}^{}\int \limits_{}^{}p(\vec{r})dV


Problem/Ansatz:

Generell ist mir bewusst, wie sich das Volumen berechnen lässt (die Grenzen usw.). Leider hatten wir das ganze jedoch noch nicht mit Vektoren, sodass ich nicht weiß, wie ich das ganze umformen soll.

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Aloha :)

Die Dichte der Wolke hängt nur vom Abstand rr zum Zentrum ab:ρ(r)=1r2(r+3)2\rho(r)=\frac{1}{r^2(r+3)^2}Wenn der Radius der Wolke RR ist, tastet der folgende Vektor r\vec r alle Punkte der Gaswolke ab:r=(rcosφsinϑrsinφsinφrcosφ);r[0;R]  ;  φ[0;2π]  ;  ϑ[0;π]\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\varphi\\r\cos\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]Mit dem Volumenelement dV=r2sinϑdrdφdϑdV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta können wir daher die Masse der Wolke durch folgendes Integral bestimmen:

M=r=0R  φ=02π  ϑ=0πρ(r)dV=r=0R  φ=02π  ϑ=0π1r2(r+3)2r2sinϑdrdφdϑM=\int\limits_{r=0}^R\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi}\rho(r)\,dV=\int\limits_{r=0}^R\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi}\frac{1}{r^2(r+3)^2}\,r^2\,\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\varthetaM=r=0R1(r+3)2drφ=02πdφϑ=0πsinϑdϑ=[1r+3]0R[φ]02π[cosϑ]0π\phantom{M}=\int\limits_{r=0}^R\frac{1}{(r+3)^2}\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi}\sin\vartheta\,d\vartheta=\left[-\frac{1}{r+3}\right]_0^R\cdot[\varphi]_{0}^{2\pi}\cdot[-\cos\vartheta]_0^\piM=(1R+3+13)(2π0)(1(1))=R3R+92π2=4πR3R+9\phantom M=\left(-\frac{1}{R+3}+\frac13\right)\cdot(2\pi-0)\cdot(1-(-1))=\frac{R}{3R+9}\cdot2\pi\cdot2=\frac{4\pi\,R}{3R+9}

Da kosmische Gaswolken sehr riesig sind (R)(R\to\infty) könnte man die Gesamtmasse der Wolke noch nach oben abschätzen:M<limR4πR3R+9=limR4π3+9R=4π3M<\lim\limits_{R\to\infty}\frac{4\pi R}{3R+9}=\lim\limits_{R\to\infty}\frac{4\pi}{3+\frac9R}=\frac{4\pi}{3}

Avatar von 153 k 🚀

Vielen Dank für die sehr ausführliche Rechnung! Was ich nur noch nicht ganz verstehe ist, dass r\vec{r} nicht mehr in der Rechnung auftaucht. Oder soll dies wirklich, wie Du bereits geschrieben hast, nur verdeutlichen, dass eben mithilfe des Ortsvektors die Dichten an jedem beliebigen Punkt beschrieben wird?

Ich habe ja den Ortsvektor r\vec r in Kugelkoordinaten angegeben. Der Betrag dieses Vektors ist rr. Da die Dichte nur vom Betrag rr des Vektors r\vec r abhängt, kommt auch nur der Betrag rr im Integral vor.

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